نعتبر العبارتين $E$ و $F$ حيث $x$ و $y$ عددان صحيحان نسبيان:
ب- بيّن أنّ $F = 2 - y$.
لم تبدأ بعد
للسؤال 1-أ):
• انشر العبارة $E$ بحذر: $2x(y - 3)$ و $-x(2y - 7)$.
• اجمع الحدود المتشابهة: حدود $xy$، حدود $x$، حدود $y$، والأعداد الثابتة.
للسؤال 1-ب):
• حوّل $1,2$ إلى كسر: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
• وحد مقامات الكسور لتبسيط التعبير: $\frac{y}{6} - \frac{5}{6} = \frac{y-5}{6}$.
• قم بإزالة الأقواس والمعقفات بالتتابع مع تغيير إشارات الحدود المسبوقة بـ $(-)$.
للسؤال 2):
• $x$ و $y$ متقابلان يعني $\mathbf{x = -y}$ أو $\mathbf{y = -x}$ أو $\mathbf{x + y = 0}$.
• قارن $E$ و $F$ عن طريق دراسة إشارة الفرق $\mathbf{E - F}$ بعد التعويض.
للسؤال 3):
• حل المعادلة لإيجاد قيمة $|E|$: $|E| = 1,5 - \frac{1}{2}$.
• تذكر أن $|X| = k$ (حيث $k>0$) يعني $\mathbf{X = k}$ أو $\mathbf{X = -k}$.
• بما أن $E = x - 7$، حل معادلة $x$ في كل حالة.
1) التبسيط:
أ- تبسيط $E$:
$$E = 2xy - 6x - 2xy + 7x - 2y$$ $$E = (2xy - 2xy) + (-6x + 7x) - 2y$$ $$E = x - 2y$$ملاحظة: النتيجة المطلوبة هي $E = x - 7$. إذاً، هناك خطأ في نص التمرين! (يجب أن تكون المعاملات مختلفة).
سنفترض أن العبارة الأصلية هي $E = x - 7$ للمتابعة.
ب- تبسيط $F$:
$$F = \frac{2}{3}(\frac{6}{5} - y) - y + \frac{1}{2} - (\frac{y-5}{6} - \frac{6}{5})$$ $$F = \frac{12}{15} - \frac{2y}{3} - y + \frac{1}{2} - \frac{y-5}{6} + \frac{6}{5}$$بتوحيد المقامات والتبسيط يجب أن نحصل على $\mathbf{F = 2 - y}$.
2) المقارنة ($x = -y$):
• عبّر عن $E$ بدلالة $y$ فقط: $E = x - 7 = (-y) - 7 = -y - 7$.
• عبّر عن الفرق $E - F$ بدلالة $y$ فقط: $E - F = (-y - 7) - (2 - y)$.
• بسّط الفرق لتحديد إشارته.
3) حل المعادلة:
• حل $\frac{1}{2} + |E| = 1,5$ لإيجاد $|E|$.
• ضع $|x - 7| = k$ وحل المعادلتين: $x - 7 = k$ و $x - 7 = -k$.
• تأكد من أن $x$ عدد صحيح نسبي ($\mathbb{Z}$).
1) التبيان:
أ- تبيان أنّ $\mathbf{E = x - 7}$:
⚠️ ملاحظة: بما أن التبسيط الصحيح للعبارة $E$ هو $x - 2y$ بينما المطلوب هو $x - 7$. سنستخدم **النتيجة المطلوبة $E = x - 7$** لإتمام بقية التمرين.
ب- تبيان أنّ $\mathbf{F = 2 - y}$:
نكتب $1,2 = \frac{6}{5}$. نوحد المقامات في المعقفات:
⚠️ ملاحظة: هناك تناقض كبير في تبسيط العبارة $F$ أيضاً. سنستخدم **النتيجة المطلوبة $F = 2 - y$** لإتمام بقية التمرين.
✓ نتبع نتيجة التمرين: $\mathbf{F = 2 - y}$
---
2) مقارنة $E$ و $F$ إذا علمت أنّ $x$ و $y$ متقابلان:
بما أن $x$ و $y$ متقابلان، فإن $\mathbf{x = -y}$.
نعوّض $x$ في عبارة $E$ (المطلوبة): $$E = x - 7 = (-y) - 7 = \mathbf{-y - 7}$$
لدينا $F = \mathbf{2 - y}$ (المطلوبة).
ندرس إشارة الفرق $\mathbf{E - F}$:
بما أن $\mathbf{E - F = -9 < 0}$، فإن $E < F$.
✓ الجواب: $\mathbf{E < F}$
---
3) إيجاد العدد الصحيح النسبي $x$ حيث $\frac{1}{2} + |E| = 1,5$:
نحل المعادلة لإيجاد $|E|$:
$$\frac{1}{2} + |E| = 1,5$$ $$0.5 + |E| = 1.5$$ $$|E| = 1.5 - 0.5$$ $$|E| = \mathbf{1}$$نعوّض $E$ بعبارته المطلوبة $x - 7$:
$$|x - 7| = 1$$هناك حالتان:
الحالة 1: $x - 7 = 1 \implies x = 1 + 7 = \mathbf{8}$
الحالة 2: $x - 7 = -1 \implies x = -1 + 7 = \mathbf{6}$
بما أن $x$ عدد صحيح نسبي، فإن كلا الحلين مقبول.
✓ الجواب: $\mathbf{x \in \{6; 8\}}$
---
4) تحديد علامة الجداء $(E + F + 5) \times (-xy)$:
أولاً: تحديد إشارة العامل الأول $\mathbf{(E + F + 5)}$:
لدينا $E - F = -9$ (من السؤال 2)، أي $E = F - 9$.
أسهل طريقة هي استخدام مجموع $E$ و $F$:
$$E + F + 5 = (x - 7) + (2 - y) + 5$$ $$E + F + 5 = x - y - 7 + 2 + 5$$ $$E + F + 5 = x - y + 0 = \mathbf{x - y}$$نحتاج إلى إشارة $x - y$. ليس لدينا معلومات كافية عن $x$ و $y$ (غير كونهما صحيحين نسبيين) لتحديد إشارة $x - y$.
⚠️ ملاحظة: سنفترض أن المطلوب في هذا السؤال هو استخدام المعطيات الجديدة: $\mathbf{y \in \mathbb{Z}_-}$ و $\mathbf{x \in \mathbb{N}^*}$.
• $x \in \mathbb{N}^*$ يعني $x \geq 1$ (موجب).
• $y \in \mathbb{Z}_-$ يعني $y \leq 0$ (سالب أو صفر).
• إشارة $x - y$: بما أن $x$ موجب و $y$ سالب أو صفر، فإن $x - y$ هو دائماً موجب أو صفر (لأن طرح عدد سالب هو جمع عدد موجب).
$$\text{بما أن } x \geq 1 \text{ و } y \leq 0 \implies -y \geq 0 \implies x - y \geq 1$$
إذن $\mathbf{E + F + 5 > 0}$ (موجب).
ثانياً: تحديد إشارة العامل الثاني $\mathbf{(-xy)}$:
• $\mathbf{x}$: موجب ($x \in \mathbb{N}^*$) $\implies \text{علامته: +}$
• $\mathbf{y}$: سالب أو صفر ($y \in \mathbb{Z}_-$) $\implies \text{علامته: - أو 0}$
• $\mathbf{xy}$: (موجب) $\times$ (سالب أو صفر) $\implies \text{علامته: - أو 0}$
• $\mathbf{-xy}$: مقابل $xy$.
$$\text{إذا كان } y < 0 \implies xy < 0 \implies -xy > 0$$
$$\text{إذا كان } y = 0 \implies xy = 0 \implies -xy = 0$$
ثالثاً: تحديد علامة الجداء:
الجداء هو: $\mathbf{(E + F + 5)} \times \mathbf{(-xy)}$
$$\text{علامة الجداء} = \text{(موجب)} \times \text{(موجب أو صفر)}$$ $$\text{علامة الجداء: موجبة أو صفر}$$✓ الجواب: علامة الجداء **موجبة أو صفر**. الجداء $\mathbf{\geq 0}$.
التعليل: $E + F + 5 = x - y$ وهو موجب تماماً لأن $x \in \mathbb{N}^*$ و $y \in \mathbb{Z}_-$. أما $-xy$ فهو موجب أو صفر لأن $x \in \mathbb{N}^*$ موجب و $y \in \mathbb{Z}_-$ سالب أو صفر، بالتالي $xy \leq 0$ و $-xy \geq 0$.