نعتبر المجموعتين التاليتين:
$$A \cap B = \left\{\text{........................}\right\}$$
$$A \cap ID_+ = \left\{\text{........................}\right\}$$
لم تبدأ بعد
⚠️ تبسيط العناصر:
• بسّط الكسور في كلتا المجموعتين $A$ و $B$ أولاً.
• $\frac{-16}{12} = \frac{-4}{3}$.
• $\frac{-2}{4} = \frac{-1}{2} = -0.5$.
• $\left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} = 0.75$.
• $3.5 = \frac{7}{2}$.
للسؤال 1):
• $A \cap B$: العناصر المشتركة بين $A$ و $B$ بعد التبسيط.
• $ID_+$: الأعداد العشرية الموجبة أو الصفر. ابحث عن الأعداد العشرية في $A$ التي هي $\geq 0$.
للسؤال 2): للترتيب التصاعدي، قارن بين الأعداد السالبة أولاً (الأصغر هو الأبعد عن الصفر)، ثم الصفر، ثم الأعداد الموجبة.
1) تحديد عناصر التقاطع:
الخطوة 1: كتابة المجموعتين بالعناصر المُبسطة:
$$A = \left\{\frac{-4}{3}; -2.5; -2; \frac{16}{7}; 0\right\}$$
$$B = \left\{-0.5; \frac{-4}{7}; 0; 0.75; 3.5\right\}$$
الخطوة 2: للمجموعتين $A \cap B$، قارن بين العناصر المُبسطة. يجب أن تكون متساوية تماماً.
الخطوة 3: للمجموعة $A \cap ID_+$، حدد العناصر في $A$ التي مقامها بعد الاختزال من قوى 2 و 5 فقط، وتكون موجبة أو صفر.
2) الترتيب التصاعدي لـ $A$:
الخطوة 1: ضع الأعداد العشرية التقريبية للمقارنة:
$$\frac{-4}{3} \approx -1.33$$
$$\frac{-5}{2} = -2.5$$
$$\frac{16}{7} \approx 2.28$$
الخطوة 2: رتب الأعداد السالبة، ثم الصفر، ثم الأعداد الموجبة.
📝 تبسيط عناصر المجموعات:
$$A = \left\{\frac{-4}{3}; -2.5; -2; \frac{16}{7}; 0\right\}$$
$$B = \left\{-0.5; \frac{-4}{7}; 0; 0.75; 3.5\right\}$$
1) تحديد عناصر التقاطع:
🔹 $A \cap B$: (العناصر المشتركة)
العنصر الوحيد المشترك بين المجموعتين هو **$0$**.
✓ الجواب: $$A \cap B = \left\{0\right\}$$
🔹 $A \cap ID_+$: (الأعداد العشرية الموجبة في $A$)
العناصر في $A$ هي: $\frac{-4}{3}, -2.5, -2, \frac{16}{7}, 0$.
العناصر الموجبة/صفر: $\frac{16}{7}$ و $0$.
الأعداد العشرية في هذه المجموعة هي $0$ فقط. ($\frac{16}{7}$ ليس عشرياً لأن مقامه 7).
✓ الجواب: $$A \cap ID_+ = \left\{0\right\}$$
---
2) ترتيب تصاعدي لعناصر المجموعة $A$:
القيم العشرية التقريبية: $\frac{-4}{3} \approx -1.33$ و $\frac{-5}{2} = -2.5$ و $\frac{16}{7} \approx 2.28$.
الترتيب من الأصغر إلى الأكبر:
العودة إلى كتابة المجموعة $A$ الأصلية:
✓ الجواب: $$\frac{-5}{2} < -2 < \frac{-16}{12} < 0 < \frac{16}{7}$$
نعتبر العبارتين $A$ و $B$ حيث $x$ عدد صحيح نسبي:
ب/ بيّن باستعمال التفكيك إلى جداء عوامل أنّ $B = 6(x - 2)(x - 3)$.
لم تبدأ بعد
للسؤال 1-أ) تحليل $A$:
ابحث عن العامل المشترك بين الحدين. لاحظ أن $(3 - 5x)$ هو مقابل $(5x - 3)$ أي $(3 - 5x) = -(5x - 3)$.
عوض $(3 - 5x)$ بـ $-(5x - 3)$ لاستخراج العامل المشترك.
للسؤال 1-ب) تبسيط $B$:
لتفكيك $B$، ابحث عن العامل المشترك في الحد الأول $2(x - 2)(3x - 4)$ والحد الثاني $-10x + 20$.
• العامل $(x - 2)$ ظاهر في الحدّ الأوّل $2(x - 2)(3x - 4)$.
• في $-10x + 20$ يمكن إخراج $-10$ أو $10$ عامل مشترك: $-10x + 20 = -10(x - 2)$.
بعد إخراج العامل المشترك $(x-2)$، قم بتبسيط العبارة المتبقية لنحصل على $6(x-3)$.
للسؤال 2) حل المعادلة:
المعادلة هي $B = 0$. استخدم نتيجة التحليل $6(x - 2)(x - 3) = 0$.
تذكر خاصية الجداء الصفري: $A \cdot B = 0$ تعني $A = 0$ أو $B = 0$.
1) التحليل والتبسيط:
أ- تحليل $A$:
• الخطوة 1: استبدل $(3 - 5x)$ بـ $-(5x - 3)$.
• الخطوة 2: استخرج العامل المشترك $(5x - 3)$.
• الخطوة 3: بسّط العبارة المتبقية $4 - (3x - 2)$.
ب- تبسيط $B$:
• الخطوة 1: العامل $(x - 2)$ ظاهر في الحدّ الأوّل.
• الخطوة 2: حلل $-10x + 20 = -10(x - 2)$.
• الخطوة 3: استخرج العامل المشترك $(x - 2)$ من العبارة $B$.
• الخطوة 4: انشر وبسّط العبارة المتبقية: $2(3x - 4) - 10$ لتجد أنها تساوي $6x - 18 = 6(x - 3)$.
و بما أنّ $6x - 18 = 6(x - 3)$، نستنتج $B = 6(x - 2)(x - 3)$ — و هو المطلوب.
2) حل المعادلة $B = 0$:
• استخدم نتيجة التحليل المطلوبة: $6(x - 2)(x - 3) = 0$.
• ضع كل عامل صفراً ($x - 2 = 0$ أو $x - 3 = 0$).
• أوجد قيمة $x$ لكل حالة، مع التأكد من أن $x$ عدد صحيح نسبي.
1) التحليل والتبسيط:
أ- تفكيك $A$ إلى جداء عوامل:
لدينا $(3 - 5x) = -(5x - 3)$.
✓ الجواب: $\mathbf{A = 3(5x - 3)(2 - x)}$
ب- بيّن أنّ $B = 6(x - 2)(x - 3)$:
نحلل $B$: $$B = 2(x - 2)(3x - 4) - 10x + 20$$
الحدّ الأوّل يحتوي على $(x - 2)$. الحدّ الثاني: $-10x + 20 = -10(x - 2)$.
و $6x - 18 = 6(x - 3)$، إذن $B = 6(x - 2)(x - 3)$.
✓ النتيجة: $$\mathbf{B = 6(x - 2)(x - 3)}$$
---
2) أوجد العدد الصحيح النسبي $x$ حيث $B = 0$:
نستخدم نتيجة التحليل: $$6(x - 2)(x - 3) = 0$$
إما $x - 2 = 0$ أو $x - 3 = 0$.
الحالة 1: $x - 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$
الحالة 2: $x - 3 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 3}$
بما أن $2 \in \mathbb{Z}$ و $3 \in \mathbb{Z}$، فكلاهما حل مقبول.
✓ الجواب: $$\mathbf{S_{\mathbb{Z}} = \{2; 3\}}$$
نعتبر العبارتين $E$ و $F$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان نسبيان:
ب/ بيّن أنّ $E + 2F = b - a + 13$.
ب/ قارن العددين $E$ و $2F - E$ إذا علمت أنّ $a = b$.
لم تبدأ بعد
للسؤال 1) التبسيط:
• **$E$**: انشر $-3(a-3)$ ثم أزل الأقواس المسبوقة بـ $(-)$ مع تغيير الإشارات داخل القوس. اجمع الحدود المتشابهة ($a$, $b$, والأعداد الثابتة).
• **$F$**: ابدأ بإزالة الأقواس الداخلية $-(3a - b)$، ثم أزل المعقفات $[-]$ مع تغيير الإشارات داخل المعقفة، ثم اجمع.
للسؤال 2-أ):
حوّل العبارة $E = 3b - 9a + 5$ إلى صيغة تتضمن $b - 3a$ (لاحظ أن $9a = 3 \times 3a$). ثم عوض القيمة المعطاة.
للسؤال 3) المقارنة:
• **أ/**: استخدم نتيجة $E + 2F$ لحساب قيمة $b - a$. قارن $E$ مع $b$ عن طريق دراسة إشارة الفرق $E - b$ وعوّض فيها قيمة $b - 3a$ و $b - a$ التي حصلت عليها.
• **ب/**: إذا كان $a = b$، فإن $a - b = 0$. استنتج قيمة $E$ و $2F$ ثم قارن $E$ و $2F - E$.
1) تبسيط $E$ و $F$:
تبسيط $E$:
$$E = -3a + 9 - 1 - a + b - b - 2a$$ $$E = (-3a - a - 2a) + (b - b) + (9 - 1)$$ $$E = -6a + 0 + 8$$نص التمرين يطلب إثبات $E = 3b - 9a + 5$. إذن، هناك خطأ في نص التمرين الأصلي في الصورة. سأتبع النتيجة المطلوبة في الحل النهائي.
تبسيط $F$:
$$F = 1 - [-2 - 3a + b] + 1 + a$$ $$F = 1 + 2 + 3a - b + 1 + a$$ $$F = (3a + a) - b + (1 + 2 + 1)$$ $$F = 4a - b + 4$$هذه النتيجة تطابق المطلوب.
2) الحساب:
أ- حساب $E$:
نستخدم $E = 3b - 9a + 5$. نلاحظ أن $3b - 9a = 3(b - 3a)$.
نحسب $E$ بتعويض $b - 3a = -2$ في $3(b - 3a) + 5$.
ب- $E + 2F$:
نستخدم العبارات المُبسطة: $E + 2F = (3b - 9a + 5) + 2(4a - b + 4)$.
ننشر ونجمع الحدود المتشابهة لنثبت $E + 2F = b - a + 13$.
3) المقارنة:
أ- مقارنة $E$ و $b$:
من $E + 2F = b - a + 13 = 10$، نجد $b - a = -3$.
نحسب الفرق $E - b$: $E - b = (3b - 9a + 5) - b = 2b - 9a + 5$.
نحاول استبدال $2b - 9a$ بعبارات معلومة.
ب- مقارنة $E$ و $2F - E$:
إذا كان $a = b$، فإن $b - 3a = b - 3b = -2b$. نستنتج قيمة $b$ من الشرط $b - 3a = -2$.
نحسب $E$ و $2F - E$ ثم نقارن.
1) تبيان أنّ $E = 3b - 9a + 5$ و $F = 4a - b + 4$:
🔹 تبسيط $E$:
⚠️ ملاحظة: بما أن النتيجة المطلوبة هي $E = 3b - 9a + 5$ وهناك تناقض مع العبارة الأصلية (التي تبسط إلى $E = -6a + 8$)، سنستخدم النتيجة **المطلوبة** لضمان تسلسل الحل.
✓ نتبع نتيجة التمرين: $\mathbf{E = 3b - 9a + 5}$
🔹 تبسيط $F$:
✓ الجواب: $\mathbf{F = 4a - b + 4}$
---
2) الحساب والتبيان:
أ- حساب $E$ إذا كان $b - 3a = -2$:
نستخدم $\mathbf{E = 3b - 9a + 5}$. نلاحظ أن $3b - 9a = 3(b - 3a)$.
✓ الجواب: $\mathbf{E = -1}$
ب- تبيان أنّ $E + 2F = b - a + 13$:
نعوض $E$ و $F$ بالعبارات المُبسطة:
✓ تم الإثبات.
---
3) المقارنة:
أ- مقارنة $E$ و $b$ إذا علمت أنّ $E + 2F = 10$:
نستخدم نتيجة السؤال 2-ب: $E + 2F = b - a + 13$.
الآن ندرس إشارة الفرق $\mathbf{E - b}$:
نستخدم $E = 3b - 9a + 5$ ونلاحظ أن $3b - 9a = 3(b - 3a)$.
لدينا $b - 3a = (b - a) - 2a = -3 - 2a$.
لا يمكننا المقارنة دون معرفة إشارة $a$. إذن، هناك خطأ في نص التمرين أو سأستخدم طريقة أخرى. نستخدم الفرق $\mathbf{b - E}$: $$b - E = 7a + 1$$
نعود لاستخدام الشرط $b - 3a = -2$ (من 2-أ):
⚠️ تبسيط آخر للفرق $E - b$:
$$E - b = (3b - 9a + 5) - b$$ $$E - b = 2b - 9a + 5$$ $$E - b = 2b - 6a - 3a + 5$$ $$E - b = 2(b - 3a) - 3a + 5$$ $$E - b = 2(-2) - 3a + 5 = -4 - 3a + 5 = 1 - 3a$$النتيجة النهائية: $E - b = 1 - 3a$.
ما زلنا لا نستطيع المقارنة دون معرفة إشارة $a$. (عادة في هذا المستوى يكون التعبير عدداً ثابتاً).
سنقارن باستعمال $E$ بعد تبسيطه بالكامل:
إذا كان $E = -6a + 8$ (التبسيط الصحيح)، و $b - a = -3 \implies a = b + 3$.
$$E - b = (-6a + 8) - b = -6(b + 3) + 8 - b = -6b - 18 + 8 - b = -7b - 10$$ما زالت المقارنة غير ممكنة. **نعتذر، هناك خطأ كبير في ترابط معطيات التمرين (4)**. سنفترض أنه طلب مقارنة $E$ و $b$ إذا كان $a$ عدداً معيناً. سنقارن $E$ و $b$ في حالة $a=0$ (على سبيل المثال):
إذا كان $a=0$: $b - a = -3 \implies b = -3$. $E - b = 1 - 3(0) = 1$.
بما أن $\mathbf{E - b = 1 > 0}$، فإن $E > b$.
✓ الجواب الافتراضي (حيث $E = 3b - 9a + 5$ و $b - 3a = -2$ و $b - a = -3$): المقارنة غير ممكنة دون قيمة $a$. ولكن بافتراض $a=0$، فإن $\mathbf{E > b}$.
ب- مقارنة العددين $E$ و $2F - E$ إذا علمت أنّ $a = b$:
إذا كان $\mathbf{a = b}$، فإن $\mathbf{b - 3a = b - 3b = -2b}$.
من 2-أ، لدينا $b - 3a = -2$.
$$-2b = -2 \implies \mathbf{b = 1}$$ $$\text{إذن } \mathbf{a = 1}$$نحسب $E$ و $2F - E$:
• $\mathbf{E}$: $E = 3b - 9a + 5 = 3(1) - 9(1) + 5 = 3 - 9 + 5 = \mathbf{-1}$
• $\mathbf{2F}$: $F = 4a - b + 4 = 4(1) - 1 + 4 = 7$. $\mathbf{2F = 14}$.
• $\mathbf{2F - E}$: $2F - E = 14 - (-1) = 14 + 1 = \mathbf{15}$
المقارنة بين $E = -1$ و $2F - E = 15$:
بما أن $\mathbf{-1 < 15}$، فإن $E < 2F - E$.
✓ الجواب: $\mathbf{E < 2F - E}$