التمرين رقم 3 - الحساب الحرفي والقيمة المطلقة

نعتبر العبارتين E و F

نعتبر العبارة:

$$E = -\left(x - \frac{2}{5} + y\right) - \left(\frac{3}{2} - y\right) - \left[0.5 - \left(y + \frac{1}{5}\right)\right]$$

والعبارة:

$$F = -\left[\frac{1}{4} + (y - x)\right] - \left(\frac{1}{2} + x\right)$$

أ) بيّن أن:

$$E = y - x - \frac{7}{5}$$

وأن:

$$F = -y - \frac{3}{4}$$

ب) احسب $E$ إذا علمت أن:

$$x - y = \left(-\frac{3}{4}\right)$$

ج) أوجد العدد $x$ إذا علمت أن $E$ و $F$ متقابلان

د) أوجد $y$ إذا علمت أن:

$$|F| = \frac{1}{2}$$

ذ) أوجد العدد $x$ في كل حالة من الحالات التالية:

$$(1) \quad \frac{3}{2} - \left(\frac{7}{2} - x\right) = \frac{3}{4}$$

$$(2) \quad \frac{7}{2} + |x| = -\frac{3}{4}$$

لم تبدأ بعد

💡 التوجيهات والنصائح

⚠️ قواعد أساسية يجب تذكرها:

1) حذف الأقواس:

عند حذف قوسين مسبوقين بإشارة موجبة (+): نحتفظ بإشارة كل الحدود
عند حذف قوسين مسبوقين بإشارة سالبة (−): نغيّر إشارة كل الحدود
$-(a + b) = -a - b$
$-(a - b) = -a + b$

2) الأعداد المتقابلة:

عددان متقابلان: مجموعهما يساوي صفر
إذا كان $A$ و $B$ متقابلان، فإن: $A + B = 0$

3) القيمة المطلقة:

$|x| \geq 0$ دائماً (القيمة المطلقة موجبة أو صفر)
$|x| = a$ يعني: $x = a$ أو $x = -a$ (عندما $a > 0$)
إذا كانت $|x| = -a$ حيث $a > 0$، فالمعادلة مستحيلة

🎯 استراتيجية الحل:

للسؤال أ) - التبسيط:

الخطوة 1: ابدأ بحذف الأقواس من الداخل إلى الخارج
الخطوة 2: انتبه جيداً لإشارة كل قوس (موجبة أم سالبة)
الخطوة 3: جمّع الحدود المتشابهة (حدود $x$ معاً، حدود $y$ معاً، الأعداد معاً)
الخطوة 4: وحّد مقامات الكسور عند جمع الأعداد

للسؤال ب) - التعويض:

لديك $E = y - x - \frac{7}{5}$
يمكن كتابتها: $E = -(x - y) - \frac{7}{5}$
عوّض قيمة $(x - y)$ المعطاة مباشرة

للسؤال ج) - الأعداد المتقابلة:

عددان متقابلان يعني: $E + F = 0$
عوّض التعبيرين المبسطين لـ $E$ و $F$
حل المعادلة لإيجاد $x$

للسؤال د) - القيمة المطلقة:

$|F| = \frac{1}{2}$ يعني: $F = \frac{1}{2}$ أو $F = -\frac{1}{2}$
حلّ المعادلتين للحصول على قيمتين لـ $y$

للسؤال ذ) - حالتان:

(1) معادلة بسيطة: احذف الأقواس ثم حل
(2) معادلة مستحيلة: انتبه! لماذا مستحيلة؟

💡 نصيحة ذهبية:

عند حذف عدة أقواس متداخلة، اعمل خطوة بخطوة من الداخل للخارج، ولا تتسرع!

راجع إشارة كل حد بعد حذف كل قوس للتأكد من عدم وقوع أخطاء.

📝 منهجية الحل التفصيلية

المنهجية العامة للتبسيط:

🔹 الطريقة الأولى: تبسيط العبارة E

الخطوة 1: حذف الأقواس الداخلية أولاً

نبدأ بـ: $\left[0.5 - \left(y + \frac{1}{5}\right)\right]$

نحذف القوس الداخلي (إشارة سالبة قبله):

$$0.5 - y - \frac{1}{5}$$

الخطوة 2: نعيد كتابة $E$ بعد حذف القوس الداخلي

$$E = -\left(x - \frac{2}{5} + y\right) - \left(\frac{3}{2} - y\right) - \left[0.5 - y - \frac{1}{5}\right]$$

الخطوة 3: حذف جميع الأقواس (انتبه للإشارات!)

• القوس الأول (بإشارة سالبة): $-\left(x - \frac{2}{5} + y\right) = -x + \frac{2}{5} - y$

• القوس الثاني (بإشارة سالبة): $-\left(\frac{3}{2} - y\right) = -\frac{3}{2} + y$

• القوس الثالث (بإشارة سالبة): $-\left[0.5 - y - \frac{1}{5}\right] = -0.5 + y + \frac{1}{5}$

الخطوة 4: تجميع الحدود المتشابهة

• حدود $x$: $-x$

• حدود $y$: $-y + y + y = y$

• الأعداد: نحسبها بعد توحيد المقامات

الخطوة 5: حساب مجموع الأعداد

نحوّل كل شيء إلى كسور بمقام 10:

$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$
$\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$
$0.5 = \frac{5}{10}$
$\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$

المجموع: $\frac{4}{10} - \frac{15}{10} - \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{4-15-5+2}{10} = \frac{-14}{10} = -\frac{7}{5}$

🔹 الطريقة الثانية: تبسيط العبارة F

الخطوة 1: حذف الأقواس

$$F = -\left[\frac{1}{4} + (y - x)\right] - \left(\frac{1}{2} + x\right)$$

• القوس الأول: $-\left[\frac{1}{4} + y - x\right] = -\frac{1}{4} - y + x$

• القوس الثاني: $-\left(\frac{1}{2} + x\right) = -\frac{1}{2} - x$

الخطوة 2: تجميع الحدود

• حدود $x$: $x - x = 0$

• حدود $y$: $-y$

• الأعداد: $-\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}$

🔹 الطريقة الثالثة: حساب E بالتعويض

من $E = y - x - \frac{7}{5}$، نكتب: $E = -(x - y) - \frac{7}{5}$

بالتعويض بـ $x - y = -\frac{3}{4}$:

$E = -(-\frac{3}{4}) - \frac{7}{5} = \frac{3}{4} - \frac{7}{5}$

نوحد المقامات (المقام المشترك = 20)

🔹 الطريقة الرابعة: إيجاد x من الأعداد المتقابلة

$E + F = 0$

$(y - x - \frac{7}{5}) + (-y - \frac{3}{4}) = 0$

بالتبسيط، تحذف $y$ و $-y$، ويتبقى: $-x - \frac{7}{5} - \frac{3}{4} = 0$

🔹 الطريقة الخامسة: حل معادلة القيمة المطلقة

من $|F| = \frac{1}{2}$، ننشئ حالتين:

الحالة 1: $F = \frac{1}{2}$

الحالة 2: $F = -\frac{1}{2}$

نحل كل معادلة باستخدام $F = -y - \frac{3}{4}$

✅ الحل النهائي الكامل والمفصل

أ) تبسيط العبارتين E و F:

🔷 تبسيط E:

$$E = -\left(x - \frac{2}{5} + y\right) - \left(\frac{3}{2} - y\right) - \left[0.5 - \left(y + \frac{1}{5}\right)\right]$$

الخطوة 1: حذف القوس الداخلي $\left(y + \frac{1}{5}\right)$

$$E = -\left(x - \frac{2}{5} + y\right) - \left(\frac{3}{2} - y\right) - \left[0.5 - y - \frac{1}{5}\right]$$

الخطوة 2: حذف القوس الأول (إشارة سالبة قبله)

$$-\left(x - \frac{2}{5} + y\right) = -x + \frac{2}{5} - y$$

الخطوة 3: حذف القوس الثاني (إشارة سالبة قبله)

$$-\left(\frac{3}{2} - y\right) = -\frac{3}{2} + y$$

الخطوة 4: حذف القوس الثالث (إشارة سالبة قبله)

$$-\left[0.5 - y - \frac{1}{5}\right] = -0.5 + y + \frac{1}{5}$$

الخطوة 5: نجمع كل الحدود

$$E = -x + \frac{2}{5} - y - \frac{3}{2} + y - 0.5 + y + \frac{1}{5}$$

الخطوة 6: تجميع حدود $x$

$$-x$$

الخطوة 7: تجميع حدود $y$

$$-y + y + y = y$$

الخطوة 8: تجميع الأعداد (نحوّل كل شيء إلى مقام 10)

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10}$
$0.5 = \frac{5}{10}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10}$

$$\frac{4}{10} - \frac{15}{10} - \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{4 - 15 - 5 + 2}{10} = \frac{-14}{10} = -\frac{7}{5}$$

✓ النتيجة النهائية:

$$E = -x + y - \frac{7}{5} = y - x - \frac{7}{5}$$

🔷 تبسيط F:

$$F = -\left[\frac{1}{4} + (y - x)\right] - \left(\frac{1}{2} + x\right)$$

الخطوة 1: حذف القوس الأول (إشارة سالبة قبله)

$$-\left[\frac{1}{4} + (y - x)\right] = -\left[\frac{1}{4} + y - x\right] = -\frac{1}{4} - y + x$$

الخطوة 2: حذف القوس الثاني (إشارة سالبة قبله)

$$-\left(\frac{1}{2} + x\right) = -\frac{1}{2} - x$$

الخطوة 3: نجمع كل الحدود

$$F = -\frac{1}{4} - y + x - \frac{1}{2} - x$$

الخطوة 4: تجميع حدود $x$

$$x - x = 0$$

الخطوة 5: تجميع حدود $y$

$$-y$$

الخطوة 6: تجميع الأعداد

$$-\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{-1-2}{4} = -\frac{3}{4}$$

✓ النتيجة النهائية:

$$F = -y - \frac{3}{4}$$

ب) حساب E عندما $x - y = -\frac{3}{4}$:

لدينا من السؤال السابق:

$$E = y - x - \frac{7}{5}$$

الخطوة 1: نعيد ترتيب العبارة

$$E = -(x - y) - \frac{7}{5}$$

الخطوة 2: نعوّض بـ $x - y = -\frac{3}{4}$

$$E = -\left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{7}{5}$$

$$E = \frac{3}{4} - \frac{7}{5}$$

الخطوة 3: نوحد المقامات (المقام المشترك الأصغر = 20)

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$
$\frac{7}{5} = \frac{7 \times 4}{5 \times 4} = \frac{28}{20}$

الخطوة 4: نطرح

$$E = \frac{15}{20} - \frac{28}{20} = \frac{15 - 28}{20} = \frac{-13}{20}$$

✓ الجواب النهائي:

$$E = -\frac{13}{20}$$

ج) إيجاد x عندما E و F متقابلان:

المفهوم: عددان متقابلان يعني مجموعهما يساوي صفر

$$E + F = 0$$

الخطوة 1: نعوّض بالتعبيرين المبسطين

$$\left(y - x - \frac{7}{5}\right) + \left(-y - \frac{3}{4}\right) = 0$$

الخطوة 2: نحذف الأقواس

$$y - x - \frac{7}{5} - y - \frac{3}{4} = 0$$

الخطوة 3: نجمع الحدود المتشابهة

• حدود $y$: $y - y = 0$

• حدود $x$: $-x$

• الأعداد: $-\frac{7}{5} - \frac{3}{4}$

$$-x - \frac{7}{5} - \frac{3}{4} = 0$$

الخطوة 4: نحسب مجموع الكسرين (المقام المشترك = 20)

$\frac{7}{5} = \frac{28}{20}$
$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$

$$-x - \frac{28}{20} - \frac{15}{20} = 0$$

$$-x - \frac{43}{20} = 0$$

الخطوة 5: نحل المعادلة

$$-x = \frac{43}{20}$$

$$x = -\frac{43}{20}$$

✓ الجواب النهائي:

$$x = -\frac{43}{20}$$

📝 التحقق (اختياري):

يمكننا التحقق بتعويض $x = -\frac{43}{20}$ في $E$ و $F$ والتأكد من أن مجموعهما = 0

د) إيجاد y عندما $|F| = \frac{1}{2}$:

لدينا من السؤال (أ):

$$F = -y - \frac{3}{4}$$

والشرط المعطى:

$$|F| = \frac{1}{2}$$

⚠️ مفهوم مهم:

عندما تكون $|F| = \frac{1}{2}$، هذا يعني:

إما $F = \frac{1}{2}$ أو $F = -\frac{1}{2}$

لأن القيمة المطلقة تعطينا المسافة من الصفر (دائماً موجبة)

🔸 الحالة الأولى: $F = \frac{1}{2}$

الخطوة 1: نكتب المعادلة

$$-y - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$$

الخطوة 2: نعزل $-y$

$$-y = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}$$

الخطوة 3: نوحد المقامات

$$-y = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$$

الخطوة 4: نجد $y$

$$y = -\frac{5}{4}$$

🔸 الحالة الثانية: $F = -\frac{1}{2}$

الخطوة 1: نكتب المعادلة

$$-y - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$$

الخطوة 2: نعزل $-y$

$$-y = -\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$$

الخطوة 3: نوحد المقامات

$$-y = -\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$

الخطوة 4: نجد $y$

$$y = -\frac{1}{4}$$

✓ الجواب النهائي:

للمعادلة حلان:

$$y = -\frac{5}{4} \quad \text{أو} \quad y = -\frac{1}{4}$$

📝 التحقق:

• عندما $y = -\frac{5}{4}$:

$F = -(-\frac{5}{4}) - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ✓

$|F| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ ✓

• عندما $y = -\frac{1}{4}$:

$F = -(-\frac{1}{4}) - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ ✓

$|F| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ ✓

ذ) إيجاد x في الحالتين:

🔸 الحالة (1):

$$\frac{3}{2} - \left(\frac{7}{2} - x\right) = \frac{3}{4}$$

الخطوة 1: نحذف الأقواس (إشارة سالبة قبلهم)

$$\frac{3}{2} - \frac{7}{2} + x = \frac{3}{4}$$

الخطوة 2: نجمع الكسرين في الطرف الأيسر

$$\frac{3 - 7}{2} + x = \frac{3}{4}$$

$$\frac{-4}{2} + x = \frac{3}{4}$$

$$-2 + x = \frac{3}{4}$$

الخطوة 3: نعزل $x$

$$x = \frac{3}{4} + 2$$

$$x = \frac{3}{4} + \frac{8}{4} = \frac{11}{4}$$

✓ الجواب:

$$x = \frac{11}{4}$$

📝 التحقق:

نعوّض $x = \frac{11}{4}$ في المعادلة الأصلية:

$\frac{3}{2} - (\frac{7}{2} - \frac{11}{4}) = \frac{3}{2} - (\frac{14}{4} - \frac{11}{4}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{4}$

$= \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ ✓

🔸 الحالة (2):

$$\frac{7}{2} + |x| = -\frac{3}{4}$$

الخطوة 1: نعزل القيمة المطلقة

$$|x| = -\frac{3}{4} - \frac{7}{2}$$

الخطوة 2: نحسب الطرف الأيمن

نوحد المقامات (المقام المشترك = 4):

$$|x| = -\frac{3}{4} - \frac{14}{4} = \frac{-3 - 14}{4} = -\frac{17}{4}$$

⚠️ تحليل حاسم:

لاحظ أننا حصلنا على:

$$|x| = -\frac{17}{4}$$

المشكلة: القيمة المطلقة لأي عدد لا يمكن أن تكون سالبة!

القاعدة: $|x| \geq 0$ دائماً وأبداً

لكن النتيجة التي حصلنا عليها هي $|x| = -\frac{17}{4}$ وهي سالبة

الاستنتاج: هذا تناقض منطقي!

✓ الجواب النهائي:

المعادلة مستحيلة (ليس لها حل)

نكتب: $S = \emptyset$ أو $S = \phi$

السبب: القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة، فهي تمثل المسافة (البُعد) وهي دائماً موجبة أو صفر.

💡 ملاحظة مهمة:

هذا النوع من المعادلات يختبر فهمك لمفهوم القيمة المطلقة.

تذكر دائماً: إذا حصلت على $|شيء| = عدد سالب$، فالمعادلة مستحيلة فوراً!

✨ ملخص شامل للحلول النهائية:

أ) $E = y - x - \dfrac{7}{5}$ و $F = -y - \dfrac{3}{4}$ ✓

ب) عندما $x - y = -\dfrac{3}{4}$: $E = -\dfrac{13}{20}$ ✓

ج) عندما $E$ و $F$ متقابلان: $x = -\dfrac{43}{20}$ ✓

د) عندما $|F| = \dfrac{1}{2}$: $y = -\dfrac{5}{4}$ أو $y = -\dfrac{1}{4}$ ✓

ذ)

(1) $x = \dfrac{11}{4}$ ✓
(2) المعادلة مستحيلة $\emptyset$ ✓

📐 التمرين رقم 3 📐

💡 التوجيهات والنصائح

📝 منهجية الحل التفصيلية

✅ الحل النهائي الكامل والمفصل