جمع الأعداد الكسرية النسبية في المجموعة Q

📐 تعريف الأعداد الكسرية النسبية

🎯 تعريف المجموعة Q:

الأعداد الكسرية النسبية هي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر

a

b

حيث a ∈ Z و b ∈ Z* (b ≠ 0)

Q = {a/b : a ∈ Z, b ∈ Z*}

📚 أمثلة على الأعداد الكسرية النسبية:

3

4

كسر عادي موجب

= 0.75

-5

8

كسر عادي سالب

= -0.625

7

عدد صحيح

= 7/1

2.5

كسر عشري

= 5/2

➕ جمع كسرين لهما نفس المقام

🔑 القاعدة الأساسية:

عندما يكون للكسرين نفس المقام، نجمع البسطين ونحتفظ بالمقام

a/c + b/c = (a + b)/c

🎨 أمثلة على جمع كسور بنفس المقام:

3/7 + 2/7

الحل:

= (3 + 2)/7

= 5/7

-4/9 + 7/9

الحل:

= (-4 + 7)/9

= 3/9 = 1/3

5/12 + (-8/12)

الحل:

= (5 + (-8))/12

= -3/12 = -1/4

-2/5 + (-3/5)

الحل:

= (-2 + (-3))/5

= -5/5 = -1

🔄 جمع كسرين بمقامين مختلفين

📋 خطوات الجمع

1️⃣ الخطوة الأولى: إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

2️⃣ الخطوة الثانية: توحيد المقامات بالضرب في العوامل المناسبة

3️⃣ الخطوة الثالثة: جمع البسطين والاحتفاظ بالمقام الموحد

4️⃣ الخطوة الرابعة: تبسيط الكسر إذا أمكن

🧮 مثال مفصل: 2/3 + 1/4

الخطوة 1: إيجاد PPCM(3, 4)

مضاعفات 3: 3, 6, 9, 12, 15, ...
مضاعفات 4: 4, 8, 12, 16, ...
PPCM(3, 4) = 12

الخطوة 2: توحيد المقامات

2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12
1/4 = (1 × 3)/(4 × 3) = 3/12

الخطوة 3: الجمع

8/12 + 3/12 = (8 + 3)/12 = 11/12

النتيجة النهائية: 2/3 + 1/4 = 11/12

🎯 أمثلة أخرى على جمع كسور بمقامين مختلفين:

1/6 + 1/8

PPCM(6, 8) = 24

= 4/24 + 3/24

= 7/24

3/5 + (-2/7)

PPCM(5, 7) = 35

= 21/35 + (-10/35)

= 11/35

-5/12 + 7/18

PPCM(12, 18) = 36

= -15/36 + 14/36

= -1/36

2/9 + 5/6

PPCM(9, 6) = 18

= 4/18 + 15/18

= 19/18

🧮 المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

📊 طرق إيجاد PPCM

الطريقة الأولى

كتابة المضاعفات

الطريقة الثانية

التحليل إلى العوامل الأولية

الطريقة الثالثة

القسمة المتتالية

مثال: PPCM(12, 18)

بالتحليل:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
PPCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

🔄 تبسيط الكسور

🎯 قاعدة التبسيط:

نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

a/b = (a ÷ d)/(b ÷ d)

حيث d = PGCD(a, b)

🎨 أمثلة على التبسيط:

12/18

PGCD(12, 18) = 6

= (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6)

= 2/3

-15/25

PGCD(15, 25) = 5

= (-15 ÷ 5)/(25 ÷ 5)

= -3/5

24/36

PGCD(24, 36) = 12

= (24 ÷ 12)/(36 ÷ 12)

= 2/3

21/14

PGCD(21, 14) = 7

= (21 ÷ 7)/(14 ÷ 7)

= 3/2

⚙️ خصائص عملية الجمع في Q

🔄 الخاصية التبديلية

a/b + c/d = c/d + a/b

ترتيب الكسور لا يؤثر على النتيجة

2/3 + 1/4 = 1/4 + 2/3 = 11/12

🔗 الخاصية التجميعية

(a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)

تجميع الكسور لا يؤثر على النتيجة

(1/2 + 1/3) + 1/6 = 1/2 + (1/3 + 1/6) = 1

🆔 العنصر المحايد

a/b + 0 = 0 + a/b = a/b

الصفر هو العنصر المحايد للجمع

3/7 + 0 = 0 + 3/7 = 3/7

↔️ العنصر المقابل

a/b + (-a/b) = (-a/b) + a/b = 0

لكل كسر مقابل يعطي مجموعهما صفراً

5/8 + (-5/8) = (-5/8) + 5/8 = 0

💰 تطبيقات من الحياة اليومية

🍕 تقسيم البيتزا:

مثال: أكلت 2/8 من البيتزا صباحاً و 3/8 مساءً

2/8 + 3/8 = (2 + 3)/8 = 5/8

المجموع: أكلت 5/8 من البيتزا

⏰ الوقت:

مثال: قضيت 1/4 ساعة في القراءة و 1/6 ساعة في الكتابة

1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12

المجموع: قضيت 5/12 ساعة (25 دقيقة)

📏 المسافات:

مثال: مشيت 3/5 كيلومتر ثم 2/3 كيلومتر إضافي

3/5 + 2/3 = 9/15 + 10/15 = 19/15

المجموع: مشيت 19/15 كيلومتر (1.27 كم تقريباً)

🧠 تمارين تطبيقية شاملة

⚡ تمارين متنوعة:

5/6 + 7/9

PPCM(6, 9) = 18

= 15/18 + 14/18

= 29/18

-2/5 + 3/10

PPCM(5, 10) = 10

= -4/10 + 3/10

= -1/10

7/12 + (-5/8)

PPCM(12, 8) = 24

= 14/24 + (-15/24)

= -1/24

1/3 + 1/4 + 1/6

PPCM(3, 4, 6) = 12

= 4/12 + 3/12 + 2/12

= 9/12 = 3/4

🎯 مقارنة العمليات

✅ نفس المقام

• جمع البسطين مباشرة

• الاحتفاظ بالمقام

• تبسيط النتيجة

🔄 مقامات مختلفة

• إيجاد PPCM

• توحيد المقامات

• جمع البسطين

• تبسيط النتيجة