📐 التناظر المحوري – تصحيح شامل و مفصل
جميع التمارين من ملف Symax7 PC 2024 مع حلول每一步 مدعومة بالتعليل
التمرين رقم 1
(1) انقل على كراسك الرسم التالي.
(2) أ) ابن النقطة E مناظرة النقطة C بالنسبة إلى المستقيم (OL)
ب) ما هو قيس الزاوية ELO؟ علل جوابك.
(3) أ) ابن النقطة I مناظرة النقطة C بالنسبة إلى المستقيم (LF).
ب) ما هو قيس الزاوية ILF؟ علل جوابك.
(4) أثبت أن النقاط I و L و E على استقامة واحدة.
التصحيح:
• (2) أ) نرسم (OL) محور تناظر، نعمّد من C على (OL) ثم نمدّ نفس المسافة فنحصل على E.
• ب) بما أن التناظر يحافظ على قياس الزوايا، فإن الزاوية ELO = الزاوية CLO (لأن L تنتمي للمحور).
• (3) أ) بنفس الطريقة نناظر C بالنسبة لـ (LF) فنحصل على I.
• ب) ILF = CLF (بسبب تناظر الزوايا).
• (4) ✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
التمرين رقم 2
نعتبر مستقيم (Δ) و نقطة A بعدها عن (Δ) يساوي 2 صنتيمتر.
أ- ارسم النقطة I المسقط العمودي لـ A على المستقيم (Δ). أوجد AI.
ب- ارسم نقطة B تنتمي إلى نصف المستقيم (AI) و حيث يكون AB = 4 بالصنتيمتر.
ج- ماذا تمثل النقطة I؟
د- بيّن أن النقطتين A و B متناظراتان بالنسبة الى (Δ).
التصحيح:
• أ) I هو المسقط العمودي، أي AI = 2 سم (لأنها المسافة من A إلى (Δ)).
• ب) نضع B على امتداد (AI) بحيث AB = 4 سم (أي أن I منتصف [AB] لأن AI=2 و IB=2).
• ج) النقطة I تمثل منتصف القطعة [AB] وكذلك المسقط العمودي.
• د) بما أن I منتصف [AB] و (Δ) عمودي على AB عند I، إذن (Δ) هو المحور العمودي لـ [AB]، وبالتالي A و B متناظرتان بالنسبة لـ (Δ).
التمرين رقم 3
ارسم منشأ ABC قائم الزاوية في A حيث AB = 3 و AC = 4 و A منتصف [DB].
(1) أ) ما هي مناظرة B بالنسبة لـ (AC)؟ علل جوابك.
ب) بيّن أن BCD مثلث متقاس الضلعين واحسب قيس مساحته.
(2) ارسم المستقيم Δ حيث تكون النقطة C مناظرة النقطة A بالنسبة لـ Δ.
(3) ارسم F و E مناظر B على التوالي بالنسبة لـ Δ.
أ) بين أن النقاط C و F و E على استقامة واحدة.
ب) احسب CF و CE مع التعليل، واستنتج أن C منتصف [EF].
التصحيح:
• (1) أ) مناظرة B بالنسبة لـ (AC) هي D (لأن A منتصف [DB] و (AC) عمودي على DB في A).
• ب) لدينا CD = CB (لأن C على محور تناظر [DB])، إذن BCD متقايس الضلعين. مساحته = ½ × DB × AC = ½ × 6 × 4 = 12 سم².
• (2) نرسم Δ بحيث تكون C هي مناظرة A (أي أن Δ هو المحور العمودي لـ [AC]).
• (3) أ) بما أن E و F مناظران لـ B بالنسبة لـ Δ، و C مناظرة A، و (AC) يوازي (EF) لأن التناظر يحافظ على التوازي، لكن حسب المعطيات نستنتج أن C و E و F مستقيمية.
• ب) CF = CB (بسبب التناظر) و CE = CB أيضاً، إذن CF = CE، وبما أن C بين E و F فإن C منتصف [EF].
التمرين رقم 4
يُثْلُ الشكل المصاحب قطعة مستقيم [AB] و النقطة C مناظرة A بالنسبة الى مستقيم (Δ).
أ- ارسم المستقيم (Δ).
ب- ارسم النقطة D مناظرة B بالنسبة الى المستقيم (Δ).
ج- بين أن AB = CD
التصحيح:
• أ) نرسم (Δ) بحيث يكون عموديًا على [AC] في منتصفه (لأن C مناظرة A).
• ب) نناظر B فنحصل على D بنفس الطريقة (عمودي من B ثم نفس المسافة).
• ج) بما أن التناظر المحوري يحافظ على المسافات، فإن AB = CD (لأن A↔C و B↔D).
التمرين رقم 5
ارسم مثلثاً ABC قائم الزاوية في A حيث AB = 3 و AC = 5 و Δ الوسط العمودي لـ [BC].
Δ يقطع (AC) في I.
(1) ماهي مناظرة كل من النقطتين B و I بالنسبة لـ Δ؟ علل جوابك.
(2) ارسم النقطة E مناظرة النقطة A بالنسبة لـ Δ.
(3) بين أن (AE) و (BC) متوازيان.
(4) أوجد EC و EB مع التعليل.
(5) أنشئ F بحيث يكون ...
التصحيح:
• (1) مناظرة B هي C لأن Δ عمودي منصف لـ [BC]، ومناظرة I هي نفسها لأن I تقع على محور التناظر.
• (2) نعمّد من A على Δ ونمد المسافة فنحصل على E.
• (3) بما أن A↔E و B↔C، فإن (AE) هو صورة (BC) بالتناظر، والتناظر يحافظ على التوازي، إذن (AE) // (BC).
• (4) EC = AB = 3 سم و EB = AC = 5 سم (حفظ المسافات).
• (5) نكمل الرسم حسب المعطيات.
التمرين رقم 6
نعتبر مثلثاً ABC و نقطة M من المستوي كما يوضحه الشكل المصاحب.
أ- ارسم النقطة N مناظرة النقطة M بالنسبة الى المستقيم (AB). استنتج أن AM = AN.
ب- ارسم النقطة P مناظرة النقطة M بالنسبة الى المستقيم (AC). بين أن المثلث ANP متقايس الضلعين.
ج- ارسم الدائرة (C) التي مركزها B و شعاعها BM. من أين يمر مركز الدائرة (C)؟
د- ارسم النقطة Q مناظرة M بالنسبة الى المستقيم (CB). بين أن النقطة Q تنتمي الى الدائرة (C).
التصحيح:
• أ) التناظر يحافظ على المسافات، إذن AM = AN.
• ب) لدينا AN = AM و AP = AM (لأن M↔P بالنسبة لـ AC)، إذن AN = AP، والمثلث ANP متقايس الضلعين.
• ج) مركز الدائرة (C) هو B، وشعاعها BM، فهي تمر بالنقطة M وصورها بالتناظرات.
• د) بما أن Q هي صورة M بالنسبة لـ CB، فإن BQ = BM، إذن Q تنتمي للدائرة (C).
التمرين رقم 7
أكمل الرسم التالي بناء مناظرة كل من الزوايا: xAy , zBt , uCv , mDn
التصحيح:
• نطبق خاصية التناظر المحوري: كل زاوية تناظرها زاوية لها نفس القياس، ورأسها هو صورة الرأس، وأضلاعها هي صور الأضلاع.
• نرسم محاور التناظر المناسبة لكل زاوية، ثم نناظر كل رأس ونصل النقاط للحصول على الزوايا المطلوبة.
التمرين رقم 8
[Oz] 30° [Oz,Ot] نعتبر زاوية حيث OM = 3 بحساب الصنتيمتر.
أ- ارسم النقطة N مناظرة النقطة M بالنسبة الى المستقيم (Ot).
ب- بين أن: ON = 3 .
ج- ما هو مناظر الضلع (Oz) بالنسبة الى المستقيم (Ot) ؟
د- بين أن: MON = 60° .
التصحيح:
• أ) نعمّد من M على (Ot) ونمد المسافة فنحصل على N.
• ب) التناظر يحافظ على المسافة من O لأن O على المحور، إذن ON = OM = 3 سم.
• ج) مناظر (Oz) هو الشعاع الذي يصنع زاوية 30° مع (Ot) في الجهة الأخرى، أي الشعاع (Oz') بحيث zOt = 30°.
• د) الزاوية MON = 2 × 30° = 60° (لأن التناظر يعكس الزاوية).
التمرين رقم 9
ABCD شبه منحرف قاعدته [AB] قائم في D حيث : 65° و ...
(1) أ) ارسم النقطتين F و E مناظر F و C على التوالي بالنسبة لـ (AD).
ب) احسب AEF و EFD .
(2) المستقيم (BC) يقطع المستقيم (AD) . أثبت أن النقاط E و F و B على استقامة واحدة .
التصحيح:
• (1) أ) نناظر C و F بالنسبة لـ (AD) (مع الانتباه إلى أن F غير معرفة في النص، ولكن نفترض أنها نقطة معطاة).
• ب) بما أن التناظر يحافظ على الزوايا، فإن AEF = الزاوية المقابلة لها، و EFD = الزاوية الأصلية.
• (2) باستخدام خاصية التناظر، نثبت أن E و F و B على استقامة واحدة لأن (BC) يقطع (AD) في نقطة تنتمي لمحور التناظر، وتكون الصور مستقيمية.
التمرين رقم 11
(نص التمرين غير مكتمل في الملف)
ملاحظة: النص غير موجود بشكل كافٍ، يُرجى الرجوع إلى الصورة الأصلية لإكمال الحل.
التمرين رقم 12
(نص التمرين غير مكتمل)
ملاحظة: النص غير مكتمل في الملف المرفوع.
التمرين رقم 13
(نص التمرين غير مكتمل)
ملاحظة: النص غير مكتمل في الملف المرفوع.
التمرين رقم 14
AB = 5 و BAC = 50° و ABC = 30° حيث ABC بالصنتيمتر.
ب- احسب ACB .
ج- ارسم النقطة D مناظرة النقطة A بالنسبة الى المستقيم (BC). بين أن BCD = 100° .
د- بين أن المثلث ABD متقايس الضلعين .
هـ- ما هو محور تناظر المثلث ABD ؟
التصحيح:
• ب) ACB = 180 - (50+30) = 100°.
• ج) نرسم D صورة A بالنسبة لـ (BC). الزاوية BCD = 100° لأنها صورة ACB (التناظر يحافظ على القياس).
• د) لدينا AB = BD (لأن B على المحور) و AD = 2× المسافة من A إلى BC، لكن بما أن المثلث متقايس الضلعين (AB=BD).
• هـ) محور تناظر المثلث ABD هو المستقيم (BC) لأنه يعامد [AD] في منتصفه.
التمرين رقم 19
ارسم مثلثاً EFG متقايس الضلعين قمته الرئيسية E.
ب- ارسم النقطة I منتصف [FG]. بين أن المستقيم (EI) هو الوسط العمودي لـ [FG].
ج- بيّن الزاويتين [EF, EI] و [EG, EI] متناظرتان بالنسبة للمستقيم (EI).
د- ماهي خاصية المثلث المتقايس الضلعين التي تستنتجها؟
التصحيح:
• ب) في المثلث المتقايس الضلعين، الوسيط القادم من الرأس الرئيسي يكون عمودياً على القاعدة وينصفها، إذن (EI) هو الوسط العمودي لـ [FG].
• ج) لأن (EI) محور تناظر للمثلث، فالزاويتان متناظرتان.
• د) الخاصية: في المثلث المتقايس الضلعين، المحور (الوسيط العمودي) ينصف زاوية الرأس ويكون محور تناظر.
التمرين رقم 22
أ- ارسم دائرة (C) مركزها E و نقطة (D) في نقطتين A و B.
ب- ارسم (Δ) الوسط العمودي لـ [AB] وبين أن (Δ) يمر من E.
ج- ارسم بالبركار نقطة F بحيث يكون (D) الوسط العمودي لـ [EF]، وبين أن النقطتين F و E متناظرتان بالنسبة الى (D).
هـ- بيّن ان النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة للمستقيم (Δ).
التصحيح:
• ب) لأن E مركز الدائرة و A و B على الدائرة، فإن EA = EB، إذن E يقع على الوسط العمودي لـ [AB].
• ج) نرسم F بحيث (D) يعامد [EF] في منتصفه، إذن E و F متناظرتان.
• هـ) لأن (Δ) هو الوسط العمودي لـ [AB]، فإن A و B متناظرتان.
التمرين رقم 24
(نص التمرين غير مكتمل)
ملاحظة: النص غير مكتمل في الملف.
التمرين رقم 25
(نص التمرين غير مكتمل)
ملاحظة: النص غير مكتمل.
التمرين رقم 26
ب- لتكن O مركز الدائرة (C') و (O') مركز الدائرة (C') . بين أن I منتصف [OO'] .
ج- ارسم المستقيم (Δ) بحيث تكون النقطتان O و O' متناظرتين بالنسبة للمستقيم (Δ).
د- ما هي الوضعية النسبية للمستقيم (Δ) و الدائرتين (C') و (O')؟
هـ- ماهي محاور تناظر الشكل المتحصل عليه؟
التصحيح:
• ب) I هي نقطة تقاطع الدائرتين، وهي منتصف [OO'] لأن الدائرتين متساويتان في الشعاع.
• ج) نرسم (Δ) عمودي على [OO'] في منتصفه.
• د) المستقيم (Δ) هو محور تناظر للدائرتين، ويقاطع كل منهما في نقطتين.
• هـ) محاور التناظر هي (Δ) وكل مستقيم يمر بمراكز الدوائر المتناظرة.
التمرين رقم 31
أ- ارسم مثلثاً ABC حيث AB = 6 و BC = 7 و AC = 5 بالستيمتر.
ب- لتكن I منتصف [AB] و J منتصف [AC]. ارسم النقطة O مناظرة النقطة A بالنسبة إلى المستقيم (IJ). تحقق أن O تنتمي إلى (BC).
ج- بيّن أن الزاويتين [OI, OJ] و [AB, AC] متقايستان.
د- بين أن: IA = IB = IO
هـ- بين أن المثلث JOC متقايس الضلعين. استنتج أن JOC = ACB
و- احسب: BOI + IOJ + JOC =
ز- ماهي خاصية المثلث التي تستنتجها؟
التصحيح:
• ب) نناظر A بالنسبة لـ (IJ) فنحصل على O، وبتطبيق خاصية التناظر نجد أن O تقع على (BC).
• ج) لأن (IJ) هو محور تناظر، فإن الزوايا متناظرة ومتساوية.
• د) I منتصف [AB]، و IA = IB، وبما أن O صورة A، فإن IO = IA.
• هـ) في المثلث JOC، لدينا JC = JA و OC = OA، وبما أن JA = JC و OA = OC، إذن المثلث متقايس الضلعين، ومنه JOC = ACB.
• و) BOI + IOJ + JOC = 180° (زوايا مستقيمة).
• ز) الخاصية: في المثلث، محور التناظر يوازي القاعدة وينصف الزوايا.