📐 المثلثات — مراجعة 2022

الصفحات 1 – 3 (مع التصحيح المفصل)

1 التمرين (صفحة 1)

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين حيث \(AB = AC\) و \(\widehat{BAC} = 40^\circ\).

1) احسب \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{ACB}\).

2) \(M\) نقطة تقاطع منصفي الزاويتين \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{ACB}\).

أ) احسب \(\widehat{BMC}\).

ب) ماذا تمثل النقطة \(M\) بالنسبة للمثلث \(ABC\)؟ علل جوابك.

ج) بين أن \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM} = 20^\circ\).

📘 التصحيح المفصل:

1) بما أن \(AB = AC\)، فالمثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، إذن \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\).

مجموع زوايا المثلث \(180^\circ\): \(\widehat{ABC} + \widehat{ACB} + 40^\circ = 180^\circ\)، أي \(2\widehat{ABC} = 140^\circ\)، إذن \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 70^\circ\).

2) أ) \(M\) هي نقطة تقاطع منصفي الزاويتين \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{ACB}\). في المثلث \(BMC\): \(\widehat{MBC} = 35^\circ\)، \(\widehat{MCB} = 35^\circ\)، إذن \(\widehat{BMC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).

ب) النقطة \(M\) هي مركز الدائرة المحيطة (أو مركز تقاطع المنصفات) وهي مركز الدائرة الداخلية للمثلث \(ABC\) (بعدها عن الأضلاع متساوٍ).

ج) المنصف \([AM]\) يقسم الزاوية \(\widehat{BAC}\) إلى نصفين، إذن \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM} = 40^\circ / 2 = 20^\circ\).

2 التمرين (صفحة 1 – تكملة)

أ) ارسم مثلثاً \(BDC\) حيث \(BC = 5\)، \(\widehat{DBC} = 50^\circ\)، \(\widehat{DCB} = 30^\circ\).

ب) ارسم نصف المستقيم \([Bx]\) منصف الزاوية \(\widehat{DBC}\)، يقطع \([CD]\) في \(M\).

ج) ارسم نصف المستقيم \([Cy]\) بحيث تكون الزاوية \(\widehat{DCy}\) مجاورة ومقايسة للزاوية \(\widehat{DCB}\)، يقطع \([BD]\) في \(A\).

د) ماذا يمثل نصف المستقيم \([CM]\) بالنسبة للزاوية \(\widehat{ACB}\)؟ علل جوابك.

هـ) أثبت أن نصف المستقيم \([AM]\) هو منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\).

📘 التصحيح المفصل:

أ) الرسم وفق المعطيات: \(BC=5\)، \(\widehat{DBC}=50^\circ\)، \(\widehat{DCB}=30^\circ\).

ب) \([Bx]\) منصف \(\widehat{DBC}\)، إذن \(\widehat{DBM} = \widehat{MBC} = 25^\circ\). يقطع \([CD]\) في \(M\).

ج) \([Cy]\) يجعل \(\widehat{DCy} = \widehat{DCB} = 30^\circ\) (مجاورة)، يقطع \([BD]\) في \(A\).

د) \([CM]\) هو منصف الزاوية \(\widehat{ACB}\)، لأن \(M\) هي نقطة تقاطع منصفات المثلث \(ABC\) (النقطة \(M\) هي مركز الدائرة الداخلية للمثلث \(ABC\)).

هـ) \(M\) هي مركز الدائرة الداخلية للمثلث \(ABC\)، لذا تنتمي إلى منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\). وبالتالي \([AM]\) هو منصف \(\widehat{BAC}\).

3 التمرين (صفحة 1 – تكملة)

1) ارسم مثلثاً \(ABCD\) (رباعي) وابن منصفي الزاويتين \(\widehat{BAD}\) و \(\widehat{ABD}\) يتقاطعان في \(M\).

2) ابن منصفي الزاويتين \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{ACD}\) يتقاطعان في \(N\). المستقيم \((AM)\) يقطع \([BD]\) في \(C\). (نص غير واضح)

أثبت أن النقط \(D\)، \(M\)، \(N\) على استقامة واحدة.

📘 التصحيح المفصل:

\(M\) هي نقطة تقاطع منصفي \(\widehat{BAD}\) و \(\widehat{ABD}\)، إذن \(M\) هي مركز الدائرة الداخلية للمثلث \(ABD\).

\(N\) هي نقطة تقاطع منصفي \(\widehat{DAC}\) و \(\widehat{ACD}\)، إذن \(N\) هي مركز الدائرة الداخلية للمثلث \(ACD\).

بما أن \(D\)، \(M\)، \(N\) تقع على منصف الزاوية \(\widehat{ADC}\) (حسب خواص تقاطع المنصفات في المثلثات المتجاورة)، فإنها على استقامة واحدة.

4 التمرين (صفحة 1 – تكملة)

1) ارسم مثلثاً \(ABC\) قائماً في \(A\) بحيث \(AC = 3\)، \(\widehat{ACB} = 65^\circ\). احسب \(\widehat{ABC}\).

2) أ) ارسم نصف المستقيم \([Bx]\) بحيث تكون الزاوية \(\widehat{xBC}\) مجاورة ومقايسة للزاوية \(\widehat{ACB}\).

ب) ماذا يمثل \([BC]\) بالنسبة للزاوية \(\widehat{xBA}\)؟ علل جوابك.

3) عين النقطة \(D\) بحيث تكون \(A\) منتصف \([BD]\).

4) أثبت أن المستقيم \((AC)\) هو الموسط العمودي لـ \([BD]\).

5) المستقيم \((Bx)\) يقطع \((AC)\) في \(E\). ما هو نوع المثلث \(BDE\)؟ علل جوابك.

6) ماذا يمثل نصف المستقيم \((DE)\) بالنسبة للزاوية \(\widehat{BED}\)؟

📘 التصحيح المفصل:

1) في المثلث القائم \(ABC\): \(\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ\).

2) أ) \([Bx]\) يجعل \(\widehat{xBC} = \widehat{ACB} = 65^\circ\) (مجاورة).

ب) \([BC]\) هو منصف الزاوية \(\widehat{xBA}\)، لأن \(\widehat{xBC} = \widehat{CBA} = 65^\circ\).

3) \(A\) منتصف \([BD]\) يعني \(AB = AD\).

4) بما أن \((AC) \perp (BD)\) (لأن \(ABC\) قائم في \(A\) و \(B, A, D\) على استقامة)، و \(A\) منتصف \([BD]\)، فإن \((AC)\) هو الموسط العمودي لـ \([BD]\).

5) \(E\) هي نقطة تقاطع \((Bx)\) مع \((AC)\). المثلث \(BDE\): \(A\) منتصف \([BD]\) و \((AC) \perp (BD)\)، و \(E \in (AC)\)، إذن \(EB = ED\)، والمثلث \(BDE\) متقايس الضلعين (رأسه \(E\)).

6) \((DE)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{BED}\) لأن \(E\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ \([BD]\)، فالمثلث \(BDE\) متقايس الضلعين، والمنصف من \(E\) عمودي على القاعدة.

14 التمرين رقم 14

نعتبر \(ABC\) مثلثاً حيث \(BC = 5\)، \(\widehat{ABC} = 55^\circ\)، \(\widehat{ACB} = 45^\circ\).

1) ارسم \([AH]\) الارتفاع الصادر من \(A\).

2) احسب \(\widehat{BAH}\) و \(\widehat{CAH}\).

3) ارسم \(M\) المركز القائم للمثلث \(ABC\).

📘 التصحيح المفصل:

1) \([AH]\) عمودي على \([BC]\)، \(H \in [BC]\).

2) في المثلث \(ABH\): \(\widehat{ABH} = 55^\circ\)، \(\widehat{AHB} = 90^\circ\)، إذن \(\widehat{BAH} = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).

في المثلث \(ACH\): \(\widehat{ACH} = 45^\circ\)، \(\widehat{AHC} = 90^\circ\)، إذن \(\widehat{CAH} = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).

3) المركز القائم \(M\) هو نقطة تقاطع الارتفاعات. نرسم الارتفاع الثالث من \(B\) أو \(C\)، ونقطة تقاطعهم هي \(M\).

19 التمرين رقم 19

نعتبر الرسم المقابل (غير موضح هنا).

أ) ماذا تمثل النقطة \(O\) بالنسبة للمثلث \(ABC\)؟

ب) أثبت أن \((AB) \perp (CO)\).

📘 التصحيح المفصل:

أ) \(O\) هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث \(ABC\) (نقطة تقاطع الأوساط العمودية).

ب) بما أن \(O\) مركز الدائرة المحيطة، فإن \(OA = OB = OC\). إذا كانت \(O\) على الموسط العمودي لـ \([AB]\)، فإن \((CO)\) عمودي على \((AB)\). (أو باستخدام خواص الأوتار في الدائرة).

21 التمرين رقم 21

1) ابن الموسطين \([BM]\) و \([CN]\) الصادرين من \(B\) و \(C\) على التوالي في المثلث \(ABC\).

أ) احسب \(AM\).

ب) أثبت أن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين.

2) ابن مثلث \(ABC\) حيث \(AB = 4\)، \(AC = 6\)، \(BC = 3.5\).

ابن الموسطين \([AI]\) و \([BJ]\) الصادرين من \(A\) و \(B\).

المستقيمان \((AI)\) و \((BJ)\) يتقاطعان في \(G\)، والمستقيم \((GC)\) يقطع \((AB)\) في \(K\).

أ) ماذا تمثل القطعة \([CK]\) بالنسبة للمثلث \(ABC\)؟

ب) احسب \(AK\).

📘 التصحيح المفصل:

1) أ) \(M\) منتصف \([BC]\)، \(BM = MC\)، \(AM\) هو متوسط. (لا يمكن حساب عددي دون أبعاد إضافية).

ب) \(AM = AN\) لأن \(M\) و \(N\) هما منتصفا \([BC]\) و \([AB]\) على التوالي، والمثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\).

2) أ) \(G\) هي نقطة تقاطع المتوسطات (مركز ثقل المثلث). \((CG)\) هو متوسط ثالث، و \(K\) هي نقطة تقاطع \((CG)\) مع \((AB)\)، إذن \([CK]\) هو متوسط صادر من \(C\).

ب) \(K\) هي منتصف \([AB]\) لأن \((CK)\) متوسط، إذن \(AK = AB/2 = 4/2 = 2\).

22 تمرين الدائرة

ارسم دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) وشعاعها \(2.5\)، وقطرها \([AB]\).

عين على الدائرة نقطة \(D\) حيث \(AD = 2\).

ماذا تمثل القطعة \([OD]\) بالنسبة للمثلث \(ABD\)؟

📘 التصحيح المفصل:

\([AB]\) قطر، إذن \(O\) هي منتصف \([AB]\). \(OD\) هو نصف قطر.

في المثلث \(ABD\)، \(O\) هي منتصف الوتر \([AB]\)، و \(D\) نقطة على الدائرة، إذن \(OD\) هو متوسط يتعلق بالوتر، والمثلث \(ABD\) قائم في \(D\) (خاصية الدائرة المحيطة بالمثلث القائم).

إذن \([OD]\) هو متوسط الوتر في المثلث القائم \(ABD\)، ويساوي \(OA = OB = 2.5\).

📌 ملخص الخواص المستخدمة: مجموع زوايا المثلث، المثلث المتقايس الضلعين، المنصفات، الأوساط، الارتفاعات، المركز القائم، مركز الدائرة المحيطة، الموسط العمودي، خاصية منتصف الوتر في المثلث القائم.