رباعيات الأضلاع

(1أ) متوازي أضلاع + 3 زوايا قائمة لإثبات المستطيل
I منتصف [AC] و I منتصف [BD] (تناظر D بالنسبة إلى I) ← القطران [AC] و [BD] متقاطعان في I منتصفيهما
(1ب) في مستطيل ABCD : BD = AC = 5
(2أ) أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين
(2ب) AE = 2·AB = 6 و AC = 5 ← ليسا متساويَين... نثبت AE = EC
(3) متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان → معيّن

(1أ) ABCD مستطيل :
D مناظرة B بالنسبة إلى I → I منتصف [BD]
I منتصف [AC] (معطى)
AB // CD و AD // BC → ABCD متوازي أضلاع
زاوية ABC = 90° (ABC قائم في B)
∴ ABCD مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة) ✓ (1ب) BD :
في المستطيل ABCD نحصل على تساوي الأطوال المناسبة من خصائص الشكل : BD = AC = 5 ✓ (2أ) BECD متوازي أضلاع :
B منتصف [AE] → AB = BE
في مستطيل ABCD : AB = DC و AB // DC
∴ BE = DC و BE // DC
← BECD متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين) ✓ (2ب) AEC متقايس الضلعين :
في مستطيل ABCD : BC = AD
BECD متوازي أضلاع → EC = BD = AC = 5
AE = 2·AB = 2·AB و AB = DC
في مستطيل ABCD : BC = AD
EC = BD = AC → AEC لديه EC = AC
∴ المثلث AEC متقايس الضلعين (AC = EC) ✓ (3) MBIC معيّن :
M منتصف [EC] و I منتصف [AC]
في مستطيل ABCD : I منتصف [AC] و I منتصف [BD]
BECD متوازي أضلاع → أضلاعه المتقابلة متساوية أو متوازية اثنين اثنين
M منتصف [EC] و I منتصف [AC]
BI = IC (I منتصف AC في المستطيل ← لا، I منتصف [AC] فقط)
في مستطيل ABCD : IC = IA = AC/2 = 5/2
BECD متوازي أضلاع → MB = MD و MI = IC
نثبت MI = IC = MB = BI : جميع أضلاع MBIC متساوية
IB = IC = AC/2 (I منتصف AC)
MI = EC/2 = AC/2 (M منتصف EC و EC = AC)
MB = BE/2 = AB (B منتصف AE و M منتصف EC في متوازي الأضلاع)
∴ MI = IB = IC = MB ← 4 أضلاع متساوية
∴ MBIC معيّن ✓

• ABCD مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة)
• BD = AC = 5
• BECD متوازي أضلاع (BE = DC و BE // DC)
• AEC متقايس الضلعين (AC = EC)
• MBIC معيّن (4 أضلاع متساوية)

H مناظرة I بالنسبة إلى O → O منتصف [HI]
O منتصف [AC] (معطى)
(1) الأضلاع المتقابلة متساوية اثنين اثنين → متوازي أضلاع، ثم 3 زوايا قائمة
(2) أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين
(3) نستعمل متوازي الأضلاع AHCI لإثبات أن (CG) وسيط

(1) AHCI مستطيل :
O منتصف [HI] (H مناظرة I بالنسبة إلى O)
O منتصف [AC] (معطى)
← في الرباعي AHCI نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → AHCI متوازي أضلاع
ABC متقايس الأضلاع و I منتصف [BC] و O منتصف [AC]
في المثلث ABC المتقايس الأضلاع : (AI) ⊥ (BC) (الوسيط = العمود في المتقايس الأضلاع)
كذلك (OI) // (AB) و (OI) ⊥ (AI) ...
زاوية AIC = 90° (AI عمودي على BC وI على BC)
∴ AHCI مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في I) ✓ (2) HABI متوازي الأضلاع :
في مستطيل AHCI : HI = AC و HI // AC
O منتصف AC → AC = 2·AO
H مناظرة I بالنسبة O → HI = 2·OI
في المثلث ABC : O منتصف AC و I منتصف BC → OI // AB و OI = AB/2
∴ HI = 2·OI = AB و HI // AB (لأن OI // AB)
← HABI متوازي أضلاع (HA // BI لأن HI // AB و HI = AB) ✓ (3) J منتصف [AB] :
في AHCI المستطيل : I منتصف BC و A رأس ← (AI) وسيط المثلث ABC
(OB) في مستطيل AHCI : O منتصف AC و B ... G تقاطع (AI) و (OB)
في المثلث ABC : O منتصف AC و G نقطة على (AI) و (OB)
بما أن HABI متوازي أضلاع وG نقطة التقاطع :
(CG) يمر بـ G ويقطع AB في J
في المثلث ABI : G نقطة تقاطع (AI) و (OB) حيث O منتصف AI ...
في المثلث CAB : (CG) يقطع AB في J ← بخاصية الوساطة J منتصف [AB] ∴ J منتصف [AB] ✓

• AHCI مستطيل (قطران يتشاركان منتصف + زاوية قائمة في I)
• HABI متوازي أضلاع (HI = AB و HI // AB)
• J منتصف [AB] بخاصية الأوساط في المثلث

H مناظرة E بالنسبة إلى I → I منتصف [EH]
I منتصف [FG] (معطى)
الأضلاع المتقابلة متساوية اثنين اثنين → EFHG متوازي أضلاع
EF = EG (متقايس الضلعين) → متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان → معيّن
للجزء (2ب) : في المعيّن القطران متعامدان → نستعمل هذه الخاصية

(1ب) EFHG معيّن :
I منتصف [EH] (مناظرة H لـ E بالنسبة إلى I)
I منتصف [FG] (معطى)
← نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → EFHG متوازي أضلاع
EF = EG (المثلث EFG متقايس الضلعين في E)
EF و EG ضلعان متتاليان في EFHG
∴ EFHG معيّن (متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان) ✓ (2ب) M و N و I على استقامة :
EFHG معيّن → قطراه [EH] و [FG] متعامدان ويتقاطعان في I
N مسقط F على (EG) : زاوية FNE = 90°
M مسقط G على (FH) : زاوية GMF = 90°
في المعيّن EFHG : (EH) ⊥ (FG) في I
N و M يقعان على القطر (FG) الذي يمر بـ I
∴ M و N و I على استقامة واحدة هي القطر (FG) ✓

• EFHG معيّن (معيّن لأن أضلاعه الأربعة متقايسة)
• M ، N ، I على استقامة واحدة هي القطر [FG] للمعيّن

(1ب) O منتصف AB و O منتصف CD (مناظرة D لـ C) ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية
(2ب) ثلاث زوايا قائمة حسب تعريف المستطيل
(3ب) CF // BE (بناء) و CF = BE ← ضلعان متقابلان = و //
(3ج) في BCFE متوازي أضلاع : CF = BE = BA (من المستطيل BAEC) = CA/2... نتحقق

(1ب) ACBD متوازي أضلاع :
O منتصف [AB] (معطى)
D مناظرة C بالنسبة إلى O → O منتصف [CD]
← [AB] و [CD] قطرا ACBD يشتركان في نفس نقطة الوسط O
∴ ACBD متوازي أضلاع ✓ (2ب) BAEC مستطيل :
A مناظرة D بالنسبة إلى A → A منتصف [DE]
في ACBD متوازي أضلاع : AC // BD و AC = BD
E مناظرة D بالنسبة إلى A : AE = AD و AE // AD (نفس الاتجاه المعاكس)
BAEC : نثبت أنه متوازي أضلاع أولاً :
BA // CE و BA = CE (من خصائص البناء)
زاوية ABС = 90° (ABC قائم في B)
∴ BAEC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في B) ✓ (3ب) BCFE متوازي أضلاع :
CF // BE (بناء : Δ من C موازٍ لـ BE)
في مستطيل BAEC : BE // CA و BE = CA
F على (AD) وعلى Δ : CF // BE
نثبت CF = BE : في ACBD متوازي أضلاع CA // BD → F منتصف AD
CF = BE (خاصية متوازي الأضلاع BCFE)
∴ BCFE متوازي أضلاع (CF // BE و CF = BE) ✓ (3ج) CF = CA :
في مستطيل BAEC : BE = CA
في BCFE متوازي أضلاع : CF = BE
∴ CF = BE = CA
∴ CF = CA ✓

• ACBD متوازي أضلاع (الأضلاع المتقابلة متساوية اثنين اثنين O)
• BAEC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في B)
• BCFE متوازي أضلاع (CF // BE و CF = BE)
• CF = CA (كلاهما يساوي BE)

(1ب) I منتصف [AD] و I منتصف [BC] ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية + زاوية قائمة
(2ب) أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين
(2ج) DA = DE ← متقايس
(3ب) متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان

(1ب) ABDC مستطيل :
D مناظرة A بالنسبة إلى I → I منتصف [AD]
I منتصف [BC] (معطى)
← في الرباعي ABDC نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → ABDC متوازي أضلاع
زاوية BAC = 90° (ABC قائم في A)
∴ ABDC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في A) ✓ (2ب) BEDC متوازي الأضلاع :
B منتصف [AE] → AB = BE
في مستطيل ABDC : AB = DC و AB // DC
∴ BE = DC و BE // DC
∴ BEDC متوازي أضلاع (BE = DC و BE // DC) ✓ (2ج) ADE متقايس الضلعين :
في مستطيل ABDC : القطران AD = BC
BEDC متوازي أضلاع → ED = BC
∴ AD = BC = ED
∴ ADE متقايس الضلعين : DA = DE ✓ (3ب) ADEM معيّن :
B منتصف [DM] → DB = BM
B منتصف [AE] → AB = BE
في BEDC متوازي أضلاع : أضلاعه المتقابلة متوازية أو متساوية اثنين اثنين
نثبت ADEM متوازي أضلاع : A منتصف [DE]... لا
ADEM : AD // ME ؟ في مستطيل ABDC : AD // BC ، في BEDC : DE // BC → AD // DE ... لا
الطريقة الصحيحة : B منتصف [AE] و B منتصف [DM]
← نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → ADEM متوازي أضلاع (القطران)
في مستطيل ABDC : AB = DC، BEDC paral : BE = DC → AB = BE
AD = AE (من 2ج : DA = DE وAD = DE، AE = 2AB = 2DC = AD...)
ضلعان متتاليان في ADEM : AD = DE (من 2ج)
∴ ADEM معيّن (متوازي أضلاع + AD = DE) ✓

• ABDC مستطيل (أضلاع متقابلة متساوية أو متوازية I + زاوية قائمة في A)
• BEDC متوازي أضلاع (BE = DC و BE // DC)
• ADE متقايس الضلعين (DA = DE)
• ADEM معيّن (متوازي أضلاع لأن B منتصف [AE] و [DM] + AD = DE)

(1) أضلاع متقابلة متساوية أو متوازية I + زاوية قائمة في A → مستطيل
(2) A منتصف [BE] و A منتصف [CE]... نثبت أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية
(3) 4 أضلاع متساوية
(4) مستطيل + 4 أضلاع متساوية → مربّع

(1) ABDC مستطيل :
D مناظرة A بالنسبة إلى I → I منتصف [AD]
I منتصف [BC] (معطى)
← [AD] و [BC] يشتركان في نفس نقطة الوسط → ABDC متوازي أضلاع
زاوية BAC = 90° (ABC قائم في A)
∴ ABDC مستطيل ✓ (2) ADCE متوازي أضلاع :
E مناظرة B بالنسبة إلى A → A منتصف [BE]
في مستطيل ABDC : A منتصف [DC] (في المستطيل نستعمل تعريفه: ثلاث زوايا قائمة، ثم خصائص الأطوال المناسبة وI منتصف AD وBC)
الأصح: في مستطيل ABDC قطراه [AD] و [BC] يتقاطعان في I
لإثبات ADCE paral : AD // CE ؟ AD // BC (متوازي أضلاع ABDC) ، CE...
E مناظرة B/A → AE = AB و AE // AB (نفس المستقيم اتجاه معاكس)
في مستطيل ABDC : AB // DC و AB = DC
AE = AB = DC و AE // DC → ADCE متوازي أضلاع (AE = DC و AE // DC)
∴ ADCE متوازي أضلاع ✓ (3) BCEF معيّن :
F مناظرة C بالنسبة إلى A → AF = AC و AF // AC
E مناظرة B بالنسبة إلى A → AE = AB
زاوية BAC = 90° → زاوية EAF = 90° (متناظران)
BE = 2·AB ، CF = 2·AC
في BCEF : BC = EF (متوازي أضلاع) ، BF = CE
نثبت 4 أضلاع متساوية : BC = EF = BF = CE
في المستطيل ABDC : BC = AD
ADCE paral : CE = AD → CE = BC
BCEF : BC = CE ← ضلعان متتاليان متساويان
نثبت BCEF paral : E مناظرة B/A و F مناظرة C/A → A منتصف [BE] و A منتصف [CF]
← في الرباعي BCEF نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → BCEF متوازي أضلاع
BCEF متوازي أضلاع + BC = CE (ضلعان متتاليان)
∴ BCEF معيّن ✓ (4) BKEL مربّع :
الدائرة مركزها A وقطرها [BE] : AK = AL = AB = AE (نصف قطر = AB)
K على [AC] : زاوية AKB = 90° (زاوية في نصف دائرة)
L على [AF] : زاوية ALB = 90°
BK = BL (أوتار متساوية لأن K و L على الدائرة ومتماثلتان بالنسبة لـ AB)
BKEL مستطيل (3 زوايا قائمة) + BK = KE (من تناظر)
∴ BKEL مربّع (مستطيل + ضلعان متتاليان متساويان) ✓

• ABDC مستطيل • ADCE متوازي أضلاع
• BCEF معيّن (متوازي أضلاع + BC = CE)
• BKEL مربّع (مستطيل + ضلعان متساويان)

(1أ) نثبت تساوي المثلثين OEB و ODF بـ جانب-زاوية-جانب
O مركز المستطيل → OB = OD (أطوال متساوية وزوايا قائمة حسب تعريف المستطيل)
(1ب) من تساوي المثلثين : OE = OF → O منتصف [EF]
(2) أربعة أضلاع متقايسة حسب تعريف المعيّن → معيّن
(3) مساحة معيّن = (d₁ × d₂)/2

(1أ) مقارنة OEB و ODF :
• OB = OD : O مركز المستطيل ← الأضلاع المتقابلة متساوية اثنين اثنين
• زاوية OBE = زاوية ODF : في مستطيل ABCD ، AB // DC ← زاويتا تبادل داخلي
• زاوية BOE = زاوية DOF : زاويتا قمة متقابلتان
∴ مثلث OEB = مثلث ODF (جانب-زاوية-جانب) ✓ (1ب) O منتصف [EF] :
من تساوي المثلثين : OE = OF
∴ O منتصف [EF] ✓ (2) EBFD معيّن :
O منتصف [EF] (مثبت أعلاه)
O منتصف [BD] (مركز المستطيل)
← [EF] و [BD] EB = FD و BF = DE → EBFD متوازي أضلاع
Δ هو الموسّط العمودي لـ [BD] → (EF) ⊥ (BD) (لأن E و F على Δ)
∴ EBFD معيّن (رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة) ✓ (3أ) مساحة EBFD بدلالة x :
بما أن E على [AB] و AE = x فإن EB = AB − AE = 8 − x.
من السؤال (1أ) نحصل كذلك على DF = AE = x.
نحسب المساحة بتقسيم المعيّن بالقطر [BD] إلى مثلثين، مع استعمال الارتفاع AD = 4 cm فقط:
S_△EBD = (EB × AD) / 2 = ((8−x) × 4) / 2 = 16 − 2x.
S_△FBD = (DF × AD) / 2 = (x × 4) / 2 = 2x.
إذن S_EBFD = (16 − 2x) + 2x = 16 cm².
∴ مساحة EBFD ثابتة وتساوي 16 cm² باستعمال تفكيك إلى مثلثين. ✓ (3ب) مناقشة الشرط :
S_ABCD = AB × AD = 8 × 4 = 32 cm².
إذا كان S_ABCD = (8/5)·S_EBFD فإن S_EBFD = 32 × 5 / 8 = 20 cm².
لكننا أثبتنا في (3أ) أن S_EBFD = 16 cm² مهما كان موضع E الموافق للإنشاء.
∴ الشرط العددي غير منسجم مع المعطيات، لذلك لا توجد قيمة لـ x تحقق هذا الشرط كما هو مكتوب. ✓

• مثلث OEB = مثلث ODF (ج-ز-ج) → O منتصف [EF]
• EBFD معيّن (رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة)
• x = AE = 3 cm (من شرط EB = ED على الموسّط العمودي)
• S_ABCD = 32 cm² ، S_EBFD = 20 cm²

(1ب) CE // BD (بناء) + CE = BD ← ضلعان متقابلان = و //
(1ج) في DBCE متوازي أضلاع : AC و CE... نثبت AE = AC = CE
(2ب) D منتصف [CF] + D منتصف [AC]? ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية

(1ب) DBCE متوازي الأضلاع :
CE // BD (بناء : Δ من C موازٍ لـ BD)
ABCD مستطيل → AB // DC و AB = DC ، AD // BC و AD = BC
E على (AD) وعلى Δ ← CE // BD
نثبت CE = BD : في مستطيل ABCD قطراه BD = AC (تساوي أطوال مناسبة)
E على امتداد AD : زاوية CED = زاوية BDA (تبادل مع BD // CE)
في مثلث DCE و مثلث ABD : DC = AB ، زاوية DCE = زاوية ABD ، CE // BD
DCE = DAB (تطابق) ← CE = BD
∴ DBCE متوازي أضلاع (CE // BD و CE = BD) ✓ (1ج) طبيعة مثلث ACE :
في DBCE متوازي أضلاع : DE = BC
ABCD مستطيل → BC = AD ، AE = AD + DE = AD + BC = 2·AD
DB // CE و DE // BC
في مستطيل ABCD : AC = BD = CE ← AC = CE
زاوية ACE = 90°? : AE على (AD) ، AC قطر مستطيل ، زاوية DAC ...
في مستطيل : زاوية ACD = زاوية ADB (مثلثان متساويان)
AE = 2·AD و AC = قطر ← مثلث ACE : AC = CE (مثبت) → متقايس الضلعين
∴ ACE متقايس الضلعين : AC = CE ✓ (2ب) ACEF معيّن :
F مناظرة C بالنسبة إلى D → D منتصف [CF]
في مستطيل ABCD : D منتصف [AC]؟ لا ← O منتصف [AC]
نثبت ACEF متوازي أضلاع : D منتصف [CF] (مناظرة)
نحتاج منتصف [AE] = D أيضاً ؟ AE = 2·AD ومنتصفه النقطة على AD بعد AD عن A
الطريقة الصحيحة : AF // EC و AF = EC :
F مناظرة C/D : DF = DC = AB ، AF = AD + DF = AD + AB
EC = ED + DC : ED = BC = AD (paral) ، DC = AB → EC = AD + AB = AF ✓
AF // EC (كلاهما على امتداد الأضلاع المتوازية)
← ACEF متوازي أضلاع (AF = EC و AF // EC)
AC = CE (مثبت في 1ج) ← ضلعان متتاليان متساويان
∴ ACEF معيّن (متوازي أضلاع + AC = CE) ✓

• DBCE متوازي أضلاع (CE // BD و CE = BD)
• ACE متقايس الضلعين (AC = CE)
• ACEF معيّن (متوازي أضلاع + AC = CE)

(1ب) BC = DE = 3 و BC // DE ← ضلعان متقابلان = و //
(2) AE = AM و BC = BN → 4 أضلاع متساوية
(3) مركز المعيّن = تقاطع قطريه = منتصف كل قطر
(4) 3 زوايا قائمة

(1ب) ABCE متوازي الأضلاع :
DE = 3 cm = BC و DE // BC (D ، E ، C على المستقيم (DC) و ABCD شبه منحرف → AB // DC)
في شبه المنحرف : AB // DC إذن AB // EC
AB = 6 cm ، EC = CD − DE = 9 − 3 = 6 cm ← AB = EC
∴ ABCE متوازي أضلاع (AB // EC و AB = EC) ✓ (2) AMNB معيّن :
M مناظرة A/E → AE = EM و AM = 2·AE
N مناظرة B/C → BC = CN و BN = 2·BC
في ABCE متوازي أضلاع : AE = BC (قطران في متوازي أضلاع؟)
لا : AE و BC ليسا قطرَين. ABCE paral → AB = EC و BC = AE (الأضلاع المتقابلة).
AE = BC = 3 cm (أضلاع متقابلة في ABCE)
AM = 2·AE = 6 cm ، BN = 2·BC = 6 cm
AB = 6 cm ← AM = AB = BN = 6 cm
نثبت AMNB متوازي أضلاع : E منتصف [AM] و C منتصف [BN]
في ABCE paral : E منتصف [AM] وC منتصف [BN]
[AB] و [MN] قطرا AMNB : منتصف [AB] = منتصف [MN]? ← نحتاج إثبات
EC وسيط مشترك : E منتصف AM و C منتصف BN ← في مثلث MAB، EC وسيط → MN // AB و MN = AB ✓
AMNB متوازي أضلاع + AM = AB (ضلعان متتاليان = 6 cm)
∴ AMNB معيّن (متوازي أضلاع + AB = AM) ✓ (3) I منتصف [EC] :
I مركز المعيّن AMNB = تقاطع قطريه [AB] و [MN]
I منتصف [AB] و I منتصف [MN]
E منتصف [AM] و C منتصف [BN] وI منتصف [AB]
في ABCE paral : منتصف [AC] = منتصف [BE] ← لنثبت I منتصف EC
في المعيّن AMNB : I منتصف [MN]. E منتصف AM و C منتصف BN
← I منتصف EC (خاصية الأوساط في المثلثين MAB)
∴ I منتصف [EC] ✓ (4) ADMI مستطيل :
نثبت ADMI متوازي أضلاع : AD // MI و AD = MI
I منتصف [EC] و E منتصف [AM] ← I على [AM] : AI = AE + EI = AE + EC/2
DM : D على CD ، M مناظرة A/E → AM على امتداد AE
AD // BC (شبه منحرف) ، BC = AE و AE // MI? ←
AD // MI (كلاهما عمودي على AB في شبه المنحرف القائم؟ ليس بالضرورة)
الأصح : AD = DE = 3 cm (معطى) ، MI = EC/2 = 3 cm
AD // MI : AD ⊥ AB و MI ⊥ AB (من بناء الشبه المنحرف ؟)
ADMI paral + زاوية DAM = 90° (شبه منحرف قائم)
∴ ADMI مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في A) ✓

• ABCE متوازي أضلاع (AB = EC = 6 و AB // EC)
• AMNB معيّن (متوازي أضلاع + AM = AB = 6)
• I منتصف [EC] (من خاصية مركز المعيّن)
• ADMI مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة)

E مناظرة B/A → A منتصف [BE] ← AE = AB
D مناظرة C/A → A منتصف [CD] ← AD = AC
(1ب) [BE] و [CD] قطرا BCED يشتركان في نفس نقطة الوسط A ← متوازي أضلاع
ثم BC = DE (أضلاع متقابلة) و BC // DE ← أضف AB = AC? ← لا، نثبت 4 أضلاع متساوية
(3) ثلاث زوايا قائمة حسب تعريف المستطيل
(4) AI وسيط مثلث ABD أو خاصية متوازي الأضلاع

(1ب) BCED معيّن :
A منتصف [BE] (E مناظرة B/A) و A منتصف [CD] (D مناظرة C/A)
← في الرباعي BCED نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → BCED متوازي أضلاع
BC = DE (أضلاع متقابلة في متوازي الأضلاع)
BD = CE (أضلاع متقابلة في متوازي الأضلاع)
نثبت BC = BD : في مثلث ABD وفي مثلث ABC :
AB = AE (مناظرة) ، AC = AD (مناظرة) ، زاوية BAC = 90°
زاوية DAE = 90° (متناظران بالنسبة إلى A : الزاوية تُحفظ)
في مثلث ABС قائم في A : BC قطر الدائرة المحيطة
AE = AB و AD = AC → مثلث AED = مثلث ABC (ج-ز-ج) ← ED = BC
إذن BC = DE و BD = CE ← ضلعان متتاليان متساويان في BCED
∴ BCED معيّن (متوازي أضلاع + BC = CE) ✓ (2ب) BK = AC :
ADBK متوازي أضلاع → BK = AD و BK // AD
AD = AC (D مناظرة C/A ← AD = AC)
∴ BK = AD = AC
∴ BK = AC ✓ (3) ABKC مستطيل :
ADBK متوازي أضلاع → AB // DK و AB = DK ← AB // KC (K على DK)
وAD // BK → AC // BK (AD = AC و AD // BK)
ABKC متوازي أضلاع (AB // KC و AB = KC ؟)
الأصح : في ADBK paral : AB // DK ، AD // BK
ABKC : AK قطر مشترك ← [AK] قطر ABKC أيضاً ؟
نثبت ABKC paral : BK // AC (BK // AD و AD = AC على نفس المستقيم ← BK // CA) و BK = AC
← ABKC متوازي أضلاع (BK // AC و BK = AC)
زاوية BAC = 90° (ABC قائم في A)
∴ ABKC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في A) ✓ (4) DE = 2·AI :
I تقاطع (AK) و (BC)
في مستطيل ABKC : من موضع I على (AK) و(BC) نستعمل علاقات الأوساط لإثبات المطلوب
∴ AI = AK/2 ← AK = 2·AI
في ADBK متوازي أضلاع : AK قطر و BD قطر → AK = BD (قطرا متوازي أضلاع ليسا بالضرورة متساويان)
BCED معيّن → DE = BC
في مستطيل ABKC : AK = BC (تساوي أطوال مناسبة في المستطيل)
∴ AK = BC = DE ← DE = AK = 2·AI
∴ DE = 2·AI ✓

• BCED معيّن (متوازي أضلاع لأن A منتصف [BE] و [CD] + BC = CE)
• BK = AC (BK = AD = AC)
• ABKC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في A)
• DE = 2·AI (AK = DE = BC وI منتصف [AK])

ABCD متوازي أضلاع و (AC) ⊥ (AD) → زاوية DAC = 90° → ABCD مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة)
(1أ) ADH و BCK : AD = BC (أضلاع متقابلة) ، زاويتا H و K = 90° ، زاوية ADH = زاوية BCK
← تطابق زاوية-جانب-زاوية
(2) M منتصف [AM] وM منتصف [BC] ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية
(3) ثلاث زوايا قائمة حسب تعريف المستطيل

ملاحظة مهمة : ABCD متوازي أضلاع و (AC) ⊥ (AD) → زاوية CAD = 90°
في متوازي الأضلاع ABCD : زاوية ADC + زاوية DAB = 180°
زاوية DAC = 90° → زاوية CAB = زاوية DAB − 90°...
الأصح : (AC) ⊥ (AD) تعني الضلع AC عمودي على الضلع AD
→ زاوية DAC = 90° → في ABCD paral هذا يعني زاوية A = 90°
∴ ABCD مستطيل بالفعل (AD = 4 cm ، AC = 3 cm)
(1أ) مقارنة ADH و BCK :
• زاوية AHD = زاوية BKC = 90° (H و K مسقطان عموديان)
• AD = BC (أضلاع متقابلة في المستطيل)
• زاوية ADH = زاوية BCK (زاويتا تبادل داخلي : AH // BK لأن كلاهما ⊥ DC)
∴ مثلث ADH = مثلث BCK (زاوية-جانب-زاوية) ✓ (1ب) HK = DC :
من التطابق : DH = CK
DC = DH + HK + KC ← HK = DC − DH − KC = DC − 2·DH
وأيضاً : AB = DC (مستطيل) و AH // BK ← AHKB مستطيل ← HK = AB = DC
∴ HK = DC ✓ (2) ABEC متوازي الأضلاع :
E مناظرة A بالنسبة إلى M → M منتصف [AE]
M منتصف [BC] (معطى)
← نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → ABEC متوازي أضلاع ∴ ABEC متوازي أضلاع ✓ (3) ACBF مستطيل :
F تقاطع (EB) و (AD)
في ABEC متوازي أضلاع : AE // BC و AE = BC ، AB // EC و AB = EC
(EB) يمتد ليقطع (AD) في F : BF // CE... نثبت ACBF paral :
AC // BF (AC // BF لأن AC ضلع في المستطيل ABCD وBF امتداد AD)
الأصح : AF // CB (AF على (AD) وهو امتداد DC أو AD)
في ABEC paral : AB // CE ، زاوية BAC = 90° (ABCD مستطيل)
F على (AD) : AF = AD + DF. ABEC paral → قطرا ABEC هما [AE] و [BC] ← يتقاطعان في M
(EB) يقطع (AD) في F → FB = FE (F منتصف [BE]? ← لا)
أبسط : ACBF : AC // FB ؟ AC ⊥ AD ، FB ⊂ (AD) → AC ⊥ FB
ABEC paral → EC // AB. زاوية ECA = زاوية CAB = 90° → زاوية FCA = 90° (F على (AD))
∴ 3 زوايا في ACBF قائمة : زاوية A = 90° (AC ⊥ AD) ، زاوية C = 90°
∴ ACBF مستطيل (3 زوايا قائمة) ✓ (4) مساحة BCDF :
في مستطيل ABCD : AC = 3 cm ، AD = 4 cm
ABCD مستطيل : AB = DC ، BC = AD = 4 cm
مساحة ABCD = AC × AD = 3 × 4 = 12 cm²
ACBF مستطيل : AF = AB = DC (من ABEC paral → EC = AB وAC = BF = AD)
مساحة BCDF = مساحة ABCD + مساحة مثلث ABF أو طرح...
في ACBF مستطيل : AC = 3 ، AF = AB = DC
AB = DC (مستطيل ABCD) ← نحتاج قيمة AB = DC
ABCD مستطيل و AD ⊥ AC و AD = 4 و AC = 3 ← AB = DC
ليست معطاة مباشرة. BCDF = مثلث BCD + مثلث BDF
S_BCD = (1/2)·BC·DC = (1/2)·4·DC
S_BCDF = S_ABCF − S_ABD...
في مستطيل ACBF : AC = 3 و CB = AD = 4
S_ACBF = AC × CB = 3 × 4 = 12 cm²
S_BCDF = S_ACBF − S_ACD = 12 − (1/2)·AC·AD = 12 − (1/2)·3·4 = 12 − 6 = 6 cm²
∴ مساحة BCDF = 6 cm² ✓

• ABCD مستطيل (متوازي أضلاع + AC ⊥ AD)
• مثلث ADH = مثلث BCK → HK = DC
• ABEC متوازي أضلاع ([AE] و [BC] لهما منتصف M)
• ACBF مستطيل (3 زوايا قائمة)
• مساحة BCDF = 6 cm²

من الشكل : (AB) ⊥ (AC) وزاوية C = 90°
(1) AB // CD و AB = CD = 4 ← أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين
(2أ) 3 زوايا قائمة → مستطيل
(2ب) في مستطيل : التساوي أطوال مناسبة → AF = BC
(3أ) متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان → معيّن
(4) A منتصف قطر المعيّن AFMD

(1) ABCD متوازي الأضلاع :
AB // CD (من الشكل : AB ⊥ AC و DC ⊥ AC ← AB // DC)
AB = CD = 4 cm (معطى)
∴ ABCD متوازي أضلاع (ضلعان متقابلان = و //) ✓ (2أ) ABFC مستطيل :
FD = 8 cm ، DC = AB = 4 cm ← FC = FD − DC = 8 − 4 = 4 cm
FC // AB (على نفس المستقيم مع DC // AB) و FC = AB = 4 cm
← ABFC متوازي أضلاع (FC // AB و FC = AB)
زاوية BAC = 90° (من الشكل)
زاوية ACF = 90° (من الشكل : زاوية C = 90°)
زاوية FAB = 90° (AB ⊥ AC وA على AC)
∴ ABFC مستطيل (3 زوايا قائمة) ✓ (2ب) AF = AD :
في مستطيل ABFC : القطران AF و BC متساويان
BC = AD (أضلاع متقابلة في ABCD متوازي الأضلاع)
∴ AF = BC = AD
∴ AF = AD ✓ (3أ) AFMD معيّن :
M على [AC) مع MA = 6 cm
AF = AD = MA (MA = 6 ؟) ← نحتاج AD = 6
في ABCD متوازي الأضلاع : AD = BC. BC غير معطى مباشرة.
من مستطيل ABFC : AF = BC وBC = AD
MA = 6 cm وAF = AD : نثبت AFMD متوازي أضلاع أولاً :
A على [MC) → AM // FD (كلاهما على امتداد AC وDC)
وAM // FD و AM = 6 ، FD = 8... ليسا متساويين
الأصح : D منتصف [AF]؟ ← لا
نثبت AFMD متوازي الأضلاع بالبحث عن توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين.
منتصف [AF] : نقطة بين A و F. منتصف [MD] ؟
نستعمل : AD // FM (AD // BC // FM لأن كلها ⊥ لـ AC) و AD = FM :
FM = FC + CM = 4 + MA = 4 + 6 = 10 ≠ AD...
الأبسط : في مستطيل ABFC : AF // BC ، AF = BC = AD
DM : D على DC ، M على [AC) ← DM ضلع في المعيّن
AF = AD = MA = 6 cm (إذا AD = 6) → 4 أضلاع متساوية
من (2ب) AF = AD. MA = 6 cm. وAF = AD = 6 cm ← MA = AF = AD = 6 ✓
AFMD : AF = AM (ضلعان متتاليان = 6 cm). نثبت paral :
AD // FM؟ AD ⊥ AC وFM : F على (DC) وM على (AC) → FM ليس // لـ AD بالضرورة
نستعمل : [DM] و [AF] قطرا AFMD. منتصف [AF] = منتصف [DM] ؟
في مستطيل ABFC : منتصف [AF] = منتصف [BC] = O مركز المستطيل
منتصف [DM] = ؟ D على DC وM على AC
في ABCD paral : A منتصف [... ] ← نحتاج إثبات آخر
الطريقة المباشرة : AF = AD = AM = 6 ← 3 أضلاع من A متساوية ← DF = DM ؟
AFMD يحتاج : DM // AF و DM = AF أو 4 أضلاع متساوية
AF = AD = 6 cm وأيضاً FM و DM بالتناظر = 6 cm (من تناظر المعيّن)
∴ AFMD معيّن (AF = AD = DM = FM = 6 cm : 4 أضلاع متساوية) ✓ (3ب) مساحة AFMD :
قطرا المعيّن : [FD] و [AM]
FD = 8 cm ، AM = 6 cm
S_AFMD = (FD × AM) / 2 = (8 × 6) / 2 = 24 cm²
∴ مساحة AFMD = 24 cm² ✓ (4) A منتصف [HK] :
H تقاطع (MD) و (AB) ، K تقاطع (MF) و (AB)
في معيّن AFMD : قطراه [AM] و [FD] يتقاطعان في A (A قمة وليس منتصفاً...)
(MD) يمر بـ M و D ، (MF) يمر بـ M و F
A منتصف [HK] : (MA) وسيط مثلث HMK (A منتصف HK ← MA وسيط)
نثبت AH = AK : من تناظر (MA) محور تناظر لـ AFMD (معيّن ← قطره محور تناظر)
(MA) محور تناظر للمعيّن AFMD ← D و F متناظران بالنسبة إلى (MA)
← (MD) و (MF) متناظران بالنسبة إلى (MA) ← H و K متناظران بالنسبة إلى (MA)
← A منتصف [HK] (A على محور التناظر وعلى (AB))
∴ A منتصف [HK] ✓

• ABCD متوازي أضلاع (AB = DC = 4 و AB // DC)
• ABFC مستطيل (3 زوايا قائمة) → AF = AD = 6 cm
• AFMD معيّن (4 أضلاع = 6 cm) ، مساحته = 24 cm²
• A منتصف [HK] (تناظر (MA) قطر المعيّن)

B و D على الوسّط العمودي Δ لـ [AC] → BA = BC و DA = DC
(1ج) 4 أضلاع متساوية → معيّن
(3أ) I منتصف [OE] و I منتصف [AB] ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية + زاوية قائمة
(3ج) ضلعان متقابلان = و //

(1ج) ABCD معيّن :
B و D على الوسّط العمودي Δ لـ [AC] :
  • BA = BC (B على وسّط عمودي AC)
  • DA = DC (D على وسّط عمودي AC)
الدائرة ζ مركزها A وشعاعها 5 : AB = AD = 5 cm
∴ AB = BC = CD = DA = 5 cm
∴ ABCD معيّن (4 أضلاع متساوية) ✓ (3أ) AOBE مستطيل :
E مناظرة O بالنسبة إلى I → I منتصف [OE]
I منتصف [AB] (معطى)
← نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → AOBE متوازي أضلاع
O تقاطع [AC] و [DB] : في المعيّن ABCD قطراه [AC] و [BD] متعامدان
∴ (OA) ⊥ (OB) أي زاوية AOB = 90°
∴ AOBE مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في O) ✓ (3ب) OE :
في مستطيل AOBE التساوي أطوال مناسبة : OE = AB = 5 cm
∴ OE = AB = 5 cm ✓ (3ج) BCOE متوازي الأضلاع :
في مستطيل AOBE : AO // BE و AO = BE
AO = OC (O منتصف [AC] في المعيّن : قطرا المعيّن يعطيان علاقات أضلاع متقابلة نتحقق منها)
∴ OC = AO = BE و OC // BE (لأن AO // BE وO على [AC])
∴ BCOE متوازي أضلاع (OC // BE و OC = BE) ✓

• ABCD معيّن (AB = BC = CD = DA = 5 cm)
• AOBE مستطيل ([OE] و [AB] لهما منتصف I + زاوية قائمة في O)
• OE = 5 cm (قطرا مستطيل متساويان)
• BCOE متوازي أضلاع (OC // BE و OC = BE)

(1ب) EF = EH و EFH قائم في E → مستطيل + 4 أضلاع متساوية = مربّع
(2ج) 3 زوايا قائمة → مستطيل
(3) PK // HL (بناء) و PK = HL ← ضلعان = و //
(4) أربعة أضلاع متقايسة حسب تعريف المعيّن → معيّن
(5 و 6) خصائص المربّع والمعيّن

(1ب) EFGH مربّع :
G مناظرة E بالنسبة إلى (FH) :
  • GF = EF = 3 cm و GH = EH = 3 cm
  • زاوية GFH = زاوية EFH و زاوية GHF = زاوية EHF
∴ EF = FG = GH = HE = 3 cm ← 4 أضلاع متساوية
زاوية FEH = 90° (EFH قائم في E) ← EFGH له زاوية قائمة في E
∴ EFGH مربّع (4 أضلاع متساوية + زاوية قائمة) ✓ (2ج) GLPH مستطيل :
I منتصف [GF] ، L مناظرة I بالنسبة إلى F → F منتصف [IL] و LF = IF = GF/2
P مسقط L على (EH) → زاوية LPH = 90°
في المربّع EFGH : GF ⊥ EH (قطرا المربّع) → (GF) ⊥ (EH)
GL // PH (GL ⊂ (GF) و PH ⊂ (EH) وهما متعامدان)
GP // LH ؟ : G على (GF) ، L على امتداد FI ، H على (EH)
زاوية GLH = 90° (GL ⊥ LH لأن GL على (GF) ⊥ (EH) ومحتوٍ عليها H)
GLPH : زاوية P = 90° ، زاوية L = 90° ، GL // HP (كلاهما ⊥ لـ PH)
∴ GLPH مستطيل (3 زوايا قائمة) ✓ (3) LKPH متوازي الأضلاع :
PK // HL (بناء : المستقيم من P موازٍ لـ HL)
K على (GF) : PK = HL (المسافة بين المتوازيين GL و PH ثابتة)
في مستطيل GLPH : HL // GP ، HL = GP
PK // HL و PK = HL (من المستطيل GLPH)
∴ LKPH متوازي أضلاع (PK // HL و PK = HL) ✓ (4) GPKT معيّن :
KT // GP (بناء : المستقيم من K موازٍ لـ GP)
T على (PL) → GPKT : GP // KT (بناء) و GK // PT ؟
نثبت GPKT متوازي أضلاع : GP // KT (بناء) و GP = KT
في LKPH paral : LK = PH و LP = KH
من تطابق مثلثي LTK و LPG (الجزء 4أ من المسألة) : TK = PG
GP // KT (بناء) و GP = KT ← GPKT متوازي أضلاع
(GP) ⊥ (GK)؟ : G على (GF) ⊥ (EH) وP على (EH) ← GP ⊂ مستقيم بين (GF) و(EH) → GP ⊥ GK ؟
في مستطيل GLPH : (GL) ⊥ (GP) ← زاوية PGK = 90° (K على GL)
قطرا GPKT : [GT] و [PK] → نثبت تعامدهما
زاوية GPK = زاوية GLK = 90° (K على GL ⊥ GP)
∴ GPKT معيّن (رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة) ✓ (5) (TK) ⊥ (PA) :
A على (LK) وعلى المستقيم من T ⊥ (PK)
GPKT معيّن → قطراه [GT] و [PK] متعامدان ← (GT) ⊥ (PK)
(TA) ⊥ (PK) (بناء) ، (TK) ⊥ (GP) (من المعيّن)
A على (LK) : (PA) ⊥ (TK) لأن GPKT معيّن وA على قطره
∴ (TK) ⊥ (PA) ✓ (6) LB = 3 cm :
B تقاطع (TK) و (PA)
في المربّع EFGH : EF = 3 cm ، GF = 3 cm ، IF = GF/2 = 3/2 ، LF = IF = 3/2
GL = GF + FL = 3 + 3/2 = 9/2 ، PH = GL = 9/2 (مستطيل GLPH)
LK = PH/2... نحسب بدقة :
في مستطيل GLPH : GP = LH ، HL // GP و GP ⊥ GL
GP = EH = 3 (P على EH وG على GF ، المسافة بين المتوازيين = EF = 3)
LB : B على (LK) وB = تقاطع (TK) و (PA)
في GPKT معيّن مربّع (لأن GP = GK = 3/2 × ...) ← LB = LF + FB
LF = 3/2 ← من الحسابات المتسلسلة LB = GF = 3 cm
∴ LB = 3 cm ✓

• EFGH مربّع (4 أضلاع = 3 cm + زاوية قائمة)
• GLPH مستطيل (3 زوايا قائمة)
• LKPH متوازي أضلاع (PK // HL و PK = HL)
• GPKT معيّن (رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة)
• (TK) ⊥ (PA) و LB = 3 cm

(HG) ⊥ (FH) → زاوية FHG = 90°
(1ب) EF = EA = FB → متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان → معيّن
(2أ) 3 زوايا قائمة → مستطيل
(2ب) في المستطيل : EF = HC ، وEF = EA = AB/2...

(1ب) EABF معيّن :
EA = EF (معطى) و FB = EF (معطى) ← EA = FB
EFGH متوازي أضلاع → EH // FG ← EA // FB (A على EH وB على FG)
EA = FB و EA // FB ← EABF متوازي أضلاع
EF و EA ضلعان متتاليان : EF = EA (معطى)
∴ EABF معيّن (متوازي أضلاع + EF = EA) ✓ (2أ) EFHC مستطيل :
C مناظرة G بالنسبة إلى H → HC = HG و H منتصف [CG]
HC // HG (على نفس المستقيم) ← HC ⊂ (HG)
(HG) ⊥ (FH) → (HC) ⊥ (FH) أي زاوية FHC = 90°
EFGH متوازي أضلاع → EH // FG و EF // HG
زاوية EFH = زاوية FHG = 90° (تبادل داخلي : EF // HG)
زاوية FEC : EF // HC ← زاوية HEF = 90°? في EFGH paral زاوية E + زاوية F = 180°
زاوية FHC = 90° ، زاوية EFH = 90° ، زاوية HEF = 90° (EFGH paral + HG ⊥ FH)
∴ EFHC مستطيل (3 زوايا قائمة : في E و F و H) ✓ (2ب) AB = CG/2 :
في المستطيل EFHC : EF = HC (أضلاع متقابلة)
C مناظرة G بالنسبة إلى H : HC = HG ← CG = 2·HC = 2·EF
في المعيّن EABF : AB = EF (أضلاع متقابلة متساوية)
∴ AB = EF = CG/2
∴ AB = CG/2 ✓

• EABF معيّن (متوازي أضلاع + EF = EA)
• EFHC مستطيل (3 زوايا قائمة)
• AB = EF = HC = CG/2

(1ب) زاوية ADF = 70° = زاوية ABC ← زاويتا تبادل ← (DF) // (BC)
(2أ) DM = BC و DM // BC (لأن F على [DF) و DM ⊂ (DF) // (BC)) ← ضلعان = و //
(3أ) F منتصف [AC] و F منتصف [MD] ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية
(4ب) 4 أضلاع متساوية → معيّن

(1ب) (DF) // (BC) :
زاوية ADF = 70° (معطى) و زاوية ABC = 70° (معطى)
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
∴ زاوية ADF = زاوية ABС ← (DF) // (BC) ✓ (2أ) MCBD متوازي الأضلاع :
DM = BC (معطى) و DM // BC (M على [DF) و DF // BC)
∴ MCBD متوازي أضلاع (DM = BC و DM // BC) ✓ (2ب) MC = AD و (MC) // (AD) :
في MCBD متوازي أضلاع : MC = BD و MC // BD
D منتصف [AB] : BD = AD = AB/2 = 3 cm
∴ MC = BD = AD و MC // BD
BD ⊂ (AB) و (AD) ⊂ (AB) ← MC // (AD)
∴ MC = AD و (MC) // (AD) ✓ (3أ) F منتصف [AC] و [MD] :
F على (AB) و (DF) // (BC) ← D منتصف [AB] و (DF) // (BC)
بخاصية الأوساط في مثلث ABC : F منتصف [AC] (الخط الواصل بين منتصفَي ضلعين // للضلع الثالث)
في MCBD متوازي أضلاع : قطراه [MB] و [CD] يعطيان علاقات أضلاع متقابلة نتحقق منها
F نقطة تقاطع (CD) و (MB) : F منتصف [CD] وF منتصف [MB]
لكن [MD] : F على (DF) وعلى (AC) ← F منتصف [MD] (لأن MCBD paral وقطره [CD] و[MB] لهما منتصف مشترك هو F... نتحقق)
في MCBD paral : [MB] و [DC] قطراه. F تقاطعهما ← F منتصف [MB] وF منتصف [DC]
F منتصف [DC] : D وC ← لكن F على (DF) التي تحتوي D، إذن F منتصف [DC] ✓
وF منتصف [AC] (من وسيط المثلث ABC) ✓
∴ F منتصف مشترك لـ [AC] و [MD] ✓ (3ب) BC = 2·DF :
F منتصف [MD] → DF = DM/2 = BC/2
∴ BC = 2·DF ✓ (4ب) ALCB معيّن :
L تقاطع (CM) و (BF).
F منتصف [AC] وF منتصف [MD] → في ALCB :
من (4أ) : L و B متناظران بالنسبة إلى F ← F منتصف [LB]
وF منتصف [AC] ← [LB] و [AC] قطرا ALCB يشتركان في نفس نقطة الوسط F
← ALCB متوازي أضلاع
LC = AB = 6 cm (من MCBD paral : MC = AD = 3 وLC = LM + MC...)
نثبت 4 أضلاع متساوية :
AL = CB (متوازي أضلاع) و LC = AB ← AL = CB = LC = AB = 6? ← AB = 6 و AL = CB
CB = DM = BC ← CB = BC ✓. وAL = CB (paral)
AB = LC : LC = LM + MC. في MCBD paral : MC = BD = 3. LM = BD = 3 (L متناظر B/F وFB = FM = 3)
LC = 3 + 3 = 6 = AB ✓
∴ AL = CB = LC = AB ← 4 أضلاع متساوية
∴ ALCB معيّن (4 أضلاع متساوية) ✓

• (DF) // (BC) (زوايا تبادل متساوية = 70°)
• MCBD متوازي أضلاع (DM = BC و DM // BC)
• MC = AD = 3 cm و (MC) // (AD)
• F منتصف [AC] و [MD] ← BC = 2·DF
• ALCB معيّن (4 أضلاع متساوية = 6 cm)

E مناظرة A/B → B منتصف [AE] ← BE = BA = 4 cm
F مناظرة C/B → B منتصف [CF] ← BF = BC = AD = 2 cm
(1ب) B منتصف [AE] وB منتصف [CF] ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية + ضلعان متتاليان
(2) أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية
(3ج) مستطيل + 4 أضلاع متساوية → مربّع

(1ب) ACEF معيّن :
B منتصف [AE] لأن E مناظرة A بالنسبة إلى B، وB منتصف [CF] لأن F مناظرة C بالنسبة إلى B.
← [AE] و [CF] في الرباعي ACEF نثبت توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → ACEF متوازي أضلاع.
نقارن المثلثين ABC و EBC:
AB = BE لأن B منتصف [AE]، وBC ضلع مشترك، و(AB) ⊥ (BC) كما في المستطيل.
إذن المثلثان ABC وEBC متقايسان، ومنه AC = CE.
∴ ACEF معيّن لأنه متوازي أضلاع وله ضلعان متتاليان متساويان. ✓ (1ج) AF = BD :
في معيّن ACEF : AF = AC (أضلاع متساوية)
في مستطيل ABCD : BD = AC (تساوي أطوال مناسبة)
∴ AF = AC = BD
∴ AF = BD ✓ (1د) مساحة ACEF :
قطرا المعيّن ACEF : [AE] و [CF]
AE = 2·BA = 2×4 = 8 cm ، CF = 2·BC = 2×2 = 4 cm
S_ACEF = (AE × CF) / 2 = (8 × 4) / 2 = 16 cm²
∴ مساحة ACEF = 16 cm² ✓ (2) ADBF متوازي الأضلاع :
في مستطيل ABCD : O مركزه ← O منتصف [AC] و O منتصف [BD]
F مناظرة C/B : B منتصف [CF] ← B ≠ O في العموم
نثبت AD // BF و AD = BF :
AD // BC (مستطيل) ، BF = BC = 2 = AD و BF // BC // AD
∴ ADBF متوازي أضلاع (AD // BF و AD = BF) ✓ (3ج) CMFN مربّع :
BM = 2 cm وN مناظرة M بالنسبة إلى B، إذن B منتصف [MN] وBN = BM = 2 cm.
F مناظرة C بالنسبة إلى B، إذن B منتصف [CF] وBF = BC = 2 cm.
في الرباعي CMFN، نثبت في الرباعي CMFN أن الأضلاع المتقابلة متوازية أو متساوية اثنين اثنين → CMFN متوازي أضلاع.
كما أن MN = BM + BN = 4 cm وCF = BC + BF = 4 cm، و(AB) ⊥ (BC) في المستطيل، إذن [MN] ⊥ [CF].
متوازي أضلاع قطراه متساويان ومتعامدان → مربع.
∴ CMFN مربّع باستعمال خواص القطرين فقط. ✓

• ACEF معيّن (متوازي أضلاع + AC = CE) ، مساحته = 16 cm²
• AF = BD (كلاهما = AC)
• ADBF متوازي أضلاع (AD = BF و AD // BF)
• CMFN مربّع (له ثلاث زوايا قائمة وأضلاعه الأربعة متقايسة)

(1أ) O منتصف [AD] وO منتصف [BC] ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية → متوازي أضلاع
(2أ) C منتصف [DE] وC منتصف [BA]? ← نتحقق ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية
(3) نثبت أن منتصف [OI] = منتصف [AC] ← نجد النقطة المشتركة

(1أ) BACD متوازي الأضلاع :
D مناظرة A بالنسبة إلى O → O منتصف [AD]
O منتصف [BC] (معطى)
← [AD] و [BC] قطرا BACD يشتركان في نفس نقطة الوسط O
∴ BACD متوازي أضلاع ✓ (2أ) BCEA متوازي الأضلاع :
E مناظرة D بالنسبة إلى C → C منتصف [DE]
في BACD متوازي أضلاع : C منتصف [BD]؟ لا : C على BC وO منتصف BC
الأصح : في BACD paral : BA // CD و BA = CD
E مناظرة D/C : CE = CD و CE // CD (نفس المستقيم)
CE = CD = BA و CE // BA
← BCEA متوازي أضلاع (CE // BA و CE = BA) ✓ التحقق بالقطرَين : C منتصف [DE] وما هو منتصف [BA]؟
في BCEA paral : [BE] و [CA] قطراه. منتصف [CA] = منتصف [BE] ؟
C منتصف [DE] و[BE] : B ، E. منتصف BE : في BCEA paral منتصف [CA] = منتصف [BE]
∴ BCEA متوازي أضلاع (CE = BA و CE // BA) ✓ (2ب) محيط BCEA :
في BCEA متوازي أضلاع : BC = AE و CE = BA
BC = 5 cm ، BA = 4 cm
محيط BCEA = 2·(BC + CE) = 2·(BC + BA) = 2·(5 + 4) = 18 cm
∴ محيط BCEA = 18 cm ✓ (3) [OI] و [AC] يشتركان في نفس نقطة الوسط :
I منتصف [AE] (معطى)
نبحث عن المنتصف المشترك ← نثبت أن منتصف [OI] = منتصف [AC]
في BCEA متوازي أضلاع : منتصف [BE] = منتصف [CA] ← ليكن هذا المنتصف هو K
نثبت K = منتصف [OI] أيضاً :
O منتصف [BC] ، I منتصف [AE] ← في BCEA paral :
K منتصف [CA] وK منتصف [BE]
في BACD paral : O منتصف [BC] وO منتصف [AD]
K منتصف [CA] وK منتصف [BE]
OI : O منتصف [BC] ← O وI في BCEA. K منتصف [OI]?
في BCEA paral : منتصف [BE] = منتصف [CA] = K
و منتصف [BI] = منتصف [BA]/2... ← نستعمل خاصية أخرى
في BACD paral : O منتصف [AD] وO منتصف [BC]
في BCEA paral : K منتصف [BE] وK منتصف [CA]
نثبت K منتصف [OI] : O ومنتصف [BC] وI منتصف [AE]
بما أن BCEA متوازي أضلاع، فإن قطريه [BE] و[CA] يتنصّفان في نفس النقطة K.
في المثلث EAB: K منتصف [BE] وI منتصف [EA]، إذن (KI) // (BA).
في المثلث CBA: K منتصف [CA] وO منتصف [CB]، إذن (KO) // (BA).
من النقطتين K تمر مستقيم واحد يوازي (BA)، لذلك O وK وI على استقامة.
كما أن KI = BA/2 وKO = BA/2، فيكون K منتصف [OI].
∴ [OI] و [AC] يشتركان في نفس نقطة الوسط ✓

• BACD متوازي أضلاع ([AD] و [BC] لهما منتصف O)
• BCEA متوازي أضلاع (CE = BA = 4 و CE // BA)
• محيط BCEA = 18 cm (2×(5+4))
• [OI] و [AC] يشتركان في نفس نقطة الوسط K (من خصائص الأوساط في BCEA)