رباعيات الأضلاع

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1أ) BACD متوازي الأضلاع :
D مناظرة A بالنسبة إلى O → O منتصف [AD]
O منتصف [BC] (معطى)
← [AD] و [BC] قطرا BACD يشتركان في نفس نقطة الوسط O
∴ BACD متوازي أضلاع ✓ (2أ) BCEA متوازي الأضلاع :
E مناظرة D بالنسبة إلى C → C منتصف [DE]
في BACD متوازي أضلاع : C منتصف [BD]؟ لا : C على BC وO منتصف BC
الأصح : في BACD paral : BA // CD و BA = CD
E مناظرة D/C : CE = CD و CE // CD (نفس المستقيم)
CE = CD = BA و CE // BA
← BCEA متوازي أضلاع (CE // BA و CE = BA) ✓ التحقق بالقطرَين : C منتصف [DE] وما هو منتصف [BA]؟
في BCEA paral : [BE] و [CA] قطراه. منتصف [CA] = منتصف [BE] ؟
C منتصف [DE] و[BE] : B ، E. منتصف BE : في BCEA paral منتصف [CA] = منتصف [BE]
∴ BCEA متوازي أضلاع (CE = BA و CE // BA) ✓ (2ب) محيط BCEA :
في BCEA متوازي أضلاع : BC = AE و CE = BA
BC = 5 cm ، BA = 4 cm
محيط BCEA = 2·(BC + CE) = 2·(BC + BA) = 2·(5 + 4) = 18 cm
∴ محيط BCEA = 18 cm ✓ (3) [OI] و [AC] يشتركان في نفس نقطة الوسط :
I منتصف [AE] (معطى)
نبحث عن المنتصف المشترك ← نثبت أن منتصف [OI] = منتصف [AC]
في BCEA متوازي أضلاع : منتصف [BE] = منتصف [CA] ← ليكن هذا المنتصف هو K
نثبت K = منتصف [OI] أيضاً :
O منتصف [BC] ، I منتصف [AE] ← في BCEA paral :
K منتصف [CA] وK منتصف [BE]
في BACD paral : O منتصف [BC] وO منتصف [AD]
K منتصف [CA] وK منتصف [BE]
OI : O منتصف [BC] ← O وI في BCEA. K منتصف [OI]?
في BCEA paral : منتصف [BE] = منتصف [CA] = K
و منتصف [BI] = منتصف [BA]/2... ← نستعمل خاصية أخرى
في BACD paral : O منتصف [AD] وO منتصف [BC]
في BCEA paral : K منتصف [BE] وK منتصف [CA]
نثبت K منتصف [OI] : O ومنتصف [BC] وI منتصف [AE]
بما أن BCEA متوازي أضلاع، فإن قطريه [BE] و[CA] يتنصّفان في نفس النقطة K.
في المثلث EAB: K منتصف [BE] وI منتصف [EA]، إذن (KI) // (BA).
في المثلث CBA: K منتصف [CA] وO منتصف [CB]، إذن (KO) // (BA).
من النقطتين K تمر مستقيم واحد يوازي (BA)، لذلك O وK وI على استقامة.
كما أن KI = BA/2 وKO = BA/2، فيكون K منتصف [OI].
∴ [OI] و [AC] يشتركان في نفس نقطة الوسط ✓