رباعيات الأضلاع

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) ACEF معيّن :
B منتصف [AE] لأن E مناظرة A بالنسبة إلى B، وB منتصف [CF] لأن F مناظرة C بالنسبة إلى B.
← [AE] و [CF] في الرباعي ACEF نثبت توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → ACEF متوازي أضلاع.
نقارن المثلثين ABC و EBC:
AB = BE لأن B منتصف [AE]، وBC ضلع مشترك، و(AB) ⊥ (BC) كما في المستطيل.
إذن المثلثان ABC وEBC متقايسان، ومنه AC = CE.
∴ ACEF معيّن لأنه متوازي أضلاع وله ضلعان متتاليان متساويان. ✓ (1ج) AF = BD :
في معيّن ACEF : AF = AC (أضلاع متساوية)
في مستطيل ABCD : BD = AC (تساوي أطوال مناسبة)
∴ AF = AC = BD
∴ AF = BD ✓ (1د) مساحة ACEF :
قطرا المعيّن ACEF : [AE] و [CF]
AE = 2·BA = 2×4 = 8 cm ، CF = 2·BC = 2×2 = 4 cm
S_ACEF = (AE × CF) / 2 = (8 × 4) / 2 = 16 cm²
∴ مساحة ACEF = 16 cm² ✓ (2) ADBF متوازي الأضلاع :
في مستطيل ABCD : O مركزه ← O منتصف [AC] و O منتصف [BD]
F مناظرة C/B : B منتصف [CF] ← B ≠ O في العموم
نثبت AD // BF و AD = BF :
AD // BC (مستطيل) ، BF = BC = 2 = AD و BF // BC // AD
∴ ADBF متوازي أضلاع (AD // BF و AD = BF) ✓ (3ج) CMFN مربّع :
BM = 2 cm وN مناظرة M بالنسبة إلى B، إذن B منتصف [MN] وBN = BM = 2 cm.
F مناظرة C بالنسبة إلى B، إذن B منتصف [CF] وBF = BC = 2 cm.
في الرباعي CMFN، نثبت في الرباعي CMFN أن الأضلاع المتقابلة متوازية أو متساوية اثنين اثنين → CMFN متوازي أضلاع.
كما أن MN = BM + BN = 4 cm وCF = BC + BF = 4 cm، و(AB) ⊥ (BC) في المستطيل، إذن [MN] ⊥ [CF].
متوازي أضلاع قطراه متساويان ومتعامدان → مربع.
∴ CMFN مربّع باستعمال خواص القطرين فقط. ✓