رباعيات الأضلاع

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) (DF) // (BC) :
زاوية ADF = 70° (معطى) و زاوية ABC = 70° (معطى)
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
∴ زاوية ADF = زاوية ABС ← (DF) // (BC) ✓ (2أ) MCBD متوازي الأضلاع :
DM = BC (معطى) و DM // BC (M على [DF) و DF // BC)
∴ MCBD متوازي أضلاع (DM = BC و DM // BC) ✓ (2ب) MC = AD و (MC) // (AD) :
في MCBD متوازي أضلاع : MC = BD و MC // BD
D منتصف [AB] : BD = AD = AB/2 = 3 cm
∴ MC = BD = AD و MC // BD
BD ⊂ (AB) و (AD) ⊂ (AB) ← MC // (AD)
∴ MC = AD و (MC) // (AD) ✓ (3أ) F منتصف [AC] و [MD] :
F على (AB) و (DF) // (BC) ← D منتصف [AB] و (DF) // (BC)
بخاصية الأوساط في مثلث ABC : F منتصف [AC] (الخط الواصل بين منتصفَي ضلعين // للضلع الثالث)
في MCBD متوازي أضلاع : قطراه [MB] و [CD] يعطيان علاقات أضلاع متقابلة نتحقق منها
F نقطة تقاطع (CD) و (MB) : F منتصف [CD] وF منتصف [MB]
لكن [MD] : F على (DF) وعلى (AC) ← F منتصف [MD] (لأن MCBD paral وقطره [CD] و[MB] لهما منتصف مشترك هو F... نتحقق)
في MCBD paral : [MB] و [DC] قطراه. F تقاطعهما ← F منتصف [MB] وF منتصف [DC]
F منتصف [DC] : D وC ← لكن F على (DF) التي تحتوي D، إذن F منتصف [DC] ✓
وF منتصف [AC] (من وسيط المثلث ABC) ✓
∴ F منتصف مشترك لـ [AC] و [MD] ✓ (3ب) BC = 2·DF :
F منتصف [MD] → DF = DM/2 = BC/2
∴ BC = 2·DF ✓ (4ب) ALCB معيّن :
L تقاطع (CM) و (BF).
F منتصف [AC] وF منتصف [MD] → في ALCB :
من (4أ) : L و B متناظران بالنسبة إلى F ← F منتصف [LB]
وF منتصف [AC] ← [LB] و [AC] قطرا ALCB يشتركان في نفس نقطة الوسط F
← ALCB متوازي أضلاع
LC = AB = 6 cm (من MCBD paral : MC = AD = 3 وLC = LM + MC...)
نثبت 4 أضلاع متساوية :
AL = CB (متوازي أضلاع) و LC = AB ← AL = CB = LC = AB = 6? ← AB = 6 و AL = CB
CB = DM = BC ← CB = BC ✓. وAL = CB (paral)
AB = LC : LC = LM + MC. في MCBD paral : MC = BD = 3. LM = BD = 3 (L متناظر B/F وFB = FM = 3)
LC = 3 + 3 = 6 = AB ✓
∴ AL = CB = LC = AB ← 4 أضلاع متساوية
∴ ALCB معيّن (4 أضلاع متساوية) ✓