التمرين 16 - رباعيات الأضلاع

EFGH متوازي أضلاع ، (HG) ⊥ (FH)

1أ-A من [EH] و B من [FG] بحيث EF = EA = FB.
1ب-بيّن أنّ EABF معيّن.
2أ-C مناظرة G بالنسبة إلى H. بيّن أنّ EFHC مستطيل.
2ب-استنتج أنّ AB = CG/2.

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

(HG) ⊥ (FH) → زاوية FHG = 90°
(1ب) EF = EA = FB → متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان → معيّن
(2أ) 3 زوايا قائمة → مستطيل
(2ب) في المستطيل : EF = HC ، وEF = EA = AB/2...

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) EABF معيّن :
EA = EF (معطى) و FB = EF (معطى) ← EA = FB
EFGH متوازي أضلاع → EH // FG ← EA // FB (A على EH وB على FG)
EA = FB و EA // FB ← EABF متوازي أضلاع
EF و EA ضلعان متتاليان : EF = EA (معطى)
∴ EABF معيّن (متوازي أضلاع + EF = EA) ✓ (2أ) EFHC مستطيل :
C مناظرة G بالنسبة إلى H → HC = HG و H منتصف [CG]
HC // HG (على نفس المستقيم) ← HC ⊂ (HG)
(HG) ⊥ (FH) → (HC) ⊥ (FH) أي زاوية FHC = 90°
EFGH متوازي أضلاع → EH // FG و EF // HG
زاوية EFH = زاوية FHG = 90° (تبادل داخلي : EF // HG)
زاوية FEC : EF // HC ← زاوية HEF = 90°? في EFGH paral زاوية E + زاوية F = 180°
زاوية FHC = 90° ، زاوية EFH = 90° ، زاوية HEF = 90° (EFGH paral + HG ⊥ FH)
∴ EFHC مستطيل (3 زوايا قائمة : في E و F و H) ✓ (2ب) AB = CG/2 :
في المستطيل EFHC : EF = HC (أضلاع متقابلة)
C مناظرة G بالنسبة إلى H : HC = HG ← CG = 2·HC = 2·EF
في المعيّن EABF : AB = EF (أضلاع متقابلة متساوية)
∴ AB = EF = CG/2
∴ AB = CG/2 ✓

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

• EABF معيّن (متوازي أضلاع + EF = EA)
• EFHC مستطيل (3 زوايا قائمة)
• AB = EF = HC = CG/2