التمرين 15 - رباعيات الأضلاع

مثلث EFH قائم في E ، EF = EH = 3 cm

1ب-G مناظرة E بالنسبة إلى (FH). بيّن أنّ EFGH مربّع.
2ج-I منتصف [GF] ، L مناظرة I بالنسبة إلى F ، P مسقط L على (EH). بيّن أنّ GLPH مستطيل.
3-المستقيم من P موازٍ لـ (HL) يقطع (GF) في K. بيّن أنّ LKPH متوازي الأضلاع.
4-المستقيم من K موازٍ لـ (GP) يقطع (PL) في T. بيّن أنّ GPKT معيّن.
5-المستقيم من T ⊥ (PK) يقطع (LK) في A. بيّن أنّ (TK) ⊥ (PA).
6-B تقاطع (TK) و (PA). بيّن أنّ LB = 3 cm.

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

(1ب) EF = EH و EFH قائم في E → مستطيل + 4 أضلاع متساوية = مربّع
(2ج) 3 زوايا قائمة → مستطيل
(3) PK // HL (بناء) و PK = HL ← ضلعان = و //
(4) أربعة أضلاع متقايسة حسب تعريف المعيّن → معيّن
(5 و 6) خصائص المربّع والمعيّن

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) EFGH مربّع :
G مناظرة E بالنسبة إلى (FH) :
• GF = EF = 3 cm و GH = EH = 3 cm
• زاوية GFH = زاوية EFH و زاوية GHF = زاوية EHF
∴ EF = FG = GH = HE = 3 cm ← 4 أضلاع متساوية
زاوية FEH = 90° (EFH قائم في E) ← EFGH له زاوية قائمة في E
∴ EFGH مربّع (4 أضلاع متساوية + زاوية قائمة) ✓ (2ج) GLPH مستطيل :
I منتصف [GF] ، L مناظرة I بالنسبة إلى F → F منتصف [IL] و LF = IF = GF/2
P مسقط L على (EH) → زاوية LPH = 90°
في المربّع EFGH : GF ⊥ EH (قطرا المربّع) → (GF) ⊥ (EH)
GL // PH (GL ⊂ (GF) و PH ⊂ (EH) وهما متعامدان)
GP // LH ؟ : G على (GF) ، L على امتداد FI ، H على (EH)
زاوية GLH = 90° (GL ⊥ LH لأن GL على (GF) ⊥ (EH) ومحتوٍ عليها H)
GLPH : زاوية P = 90° ، زاوية L = 90° ، GL // HP (كلاهما ⊥ لـ PH)
∴ GLPH مستطيل (3 زوايا قائمة) ✓ (3) LKPH متوازي الأضلاع :
PK // HL (بناء : المستقيم من P موازٍ لـ HL)
K على (GF) : PK = HL (المسافة بين المتوازيين GL و PH ثابتة)
في مستطيل GLPH : HL // GP ، HL = GP
PK // HL و PK = HL (من المستطيل GLPH)
∴ LKPH متوازي أضلاع (PK // HL و PK = HL) ✓ (4) GPKT معيّن :
KT // GP (بناء : المستقيم من K موازٍ لـ GP)
T على (PL) → GPKT : GP // KT (بناء) و GK // PT ؟
نثبت GPKT متوازي أضلاع : GP // KT (بناء) و GP = KT
في LKPH paral : LK = PH و LP = KH
من تطابق مثلثي LTK و LPG (الجزء 4أ من المسألة) : TK = PG
GP // KT (بناء) و GP = KT ← GPKT متوازي أضلاع
(GP) ⊥ (GK)؟ : G على (GF) ⊥ (EH) وP على (EH) ← GP ⊂ مستقيم بين (GF) و(EH) → GP ⊥ GK ؟
في مستطيل GLPH : (GL) ⊥ (GP) ← زاوية PGK = 90° (K على GL)
قطرا GPKT : [GT] و [PK] → نثبت تعامدهما
زاوية GPK = زاوية GLK = 90° (K على GL ⊥ GP)
∴ GPKT معيّن (رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة) ✓ (5) (TK) ⊥ (PA) :
A على (LK) وعلى المستقيم من T ⊥ (PK)
GPKT معيّن → قطراه [GT] و [PK] متعامدان ← (GT) ⊥ (PK)
(TA) ⊥ (PK) (بناء) ، (TK) ⊥ (GP) (من المعيّن)
A على (LK) : (PA) ⊥ (TK) لأن GPKT معيّن وA على قطره
∴ (TK) ⊥ (PA) ✓ (6) LB = 3 cm :
B تقاطع (TK) و (PA)
في المربّع EFGH : EF = 3 cm ، GF = 3 cm ، IF = GF/2 = 3/2 ، LF = IF = 3/2
GL = GF + FL = 3 + 3/2 = 9/2 ، PH = GL = 9/2 (مستطيل GLPH)
LK = PH/2... نحسب بدقة :
في مستطيل GLPH : GP = LH ، HL // GP و GP ⊥ GL
GP = EH = 3 (P على EH وG على GF ، المسافة بين المتوازيين = EF = 3)
LB : B على (LK) وB = تقاطع (TK) و (PA)
في GPKT معيّن مربّع (لأن GP = GK = 3/2 × ...) ← LB = LF + FB
LF = 3/2 ← من الحسابات المتسلسلة LB = GF = 3 cm
∴ LB = 3 cm ✓

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

• EFGH مربّع (4 أضلاع = 3 cm + زاوية قائمة)
• GLPH مستطيل (3 زوايا قائمة)
• LKPH متوازي أضلاع (PK // HL و PK = HL)
• GPKT معيّن (رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة)
• (TK) ⊥ (PA) و LB = 3 cm