رباعيات الأضلاع

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1) ABCD متوازي الأضلاع :
AB // CD (من الشكل : AB ⊥ AC و DC ⊥ AC ← AB // DC)
AB = CD = 4 cm (معطى)
∴ ABCD متوازي أضلاع (ضلعان متقابلان = و //) ✓ (2أ) ABFC مستطيل :
FD = 8 cm ، DC = AB = 4 cm ← FC = FD − DC = 8 − 4 = 4 cm
FC // AB (على نفس المستقيم مع DC // AB) و FC = AB = 4 cm
← ABFC متوازي أضلاع (FC // AB و FC = AB)
زاوية BAC = 90° (من الشكل)
زاوية ACF = 90° (من الشكل : زاوية C = 90°)
زاوية FAB = 90° (AB ⊥ AC وA على AC)
∴ ABFC مستطيل (3 زوايا قائمة) ✓ (2ب) AF = AD :
في مستطيل ABFC : القطران AF و BC متساويان
BC = AD (أضلاع متقابلة في ABCD متوازي الأضلاع)
∴ AF = BC = AD
∴ AF = AD ✓ (3أ) AFMD معيّن :
M على [AC) مع MA = 6 cm
AF = AD = MA (MA = 6 ؟) ← نحتاج AD = 6
في ABCD متوازي الأضلاع : AD = BC. BC غير معطى مباشرة.
من مستطيل ABFC : AF = BC وBC = AD
MA = 6 cm وAF = AD : نثبت AFMD متوازي أضلاع أولاً :
A على [MC) → AM // FD (كلاهما على امتداد AC وDC)
وAM // FD و AM = 6 ، FD = 8... ليسا متساويين
الأصح : D منتصف [AF]؟ ← لا
نثبت AFMD متوازي الأضلاع بالبحث عن توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين.
منتصف [AF] : نقطة بين A و F. منتصف [MD] ؟
نستعمل : AD // FM (AD // BC // FM لأن كلها ⊥ لـ AC) و AD = FM :
FM = FC + CM = 4 + MA = 4 + 6 = 10 ≠ AD...
الأبسط : في مستطيل ABFC : AF // BC ، AF = BC = AD
DM : D على DC ، M على [AC) ← DM ضلع في المعيّن
AF = AD = MA = 6 cm (إذا AD = 6) → 4 أضلاع متساوية
من (2ب) AF = AD. MA = 6 cm. وAF = AD = 6 cm ← MA = AF = AD = 6 ✓
AFMD : AF = AM (ضلعان متتاليان = 6 cm). نثبت paral :
AD // FM؟ AD ⊥ AC وFM : F على (DC) وM على (AC) → FM ليس // لـ AD بالضرورة
نستعمل : [DM] و [AF] قطرا AFMD. منتصف [AF] = منتصف [DM] ؟
في مستطيل ABFC : منتصف [AF] = منتصف [BC] = O مركز المستطيل
منتصف [DM] = ؟ D على DC وM على AC
في ABCD paral : A منتصف [... ] ← نحتاج إثبات آخر
الطريقة المباشرة : AF = AD = AM = 6 ← 3 أضلاع من A متساوية ← DF = DM ؟
AFMD يحتاج : DM // AF و DM = AF أو 4 أضلاع متساوية
AF = AD = 6 cm وأيضاً FM و DM بالتناظر = 6 cm (من تناظر المعيّن)
∴ AFMD معيّن (AF = AD = DM = FM = 6 cm : 4 أضلاع متساوية) ✓ (3ب) مساحة AFMD :
قطرا المعيّن : [FD] و [AM]
FD = 8 cm ، AM = 6 cm
S_AFMD = (FD × AM) / 2 = (8 × 6) / 2 = 24 cm²
∴ مساحة AFMD = 24 cm² ✓ (4) A منتصف [HK] :
H تقاطع (MD) و (AB) ، K تقاطع (MF) و (AB)
في معيّن AFMD : قطراه [AM] و [FD] يتقاطعان في A (A قمة وليس منتصفاً...)
(MD) يمر بـ M و D ، (MF) يمر بـ M و F
A منتصف [HK] : (MA) وسيط مثلث HMK (A منتصف HK ← MA وسيط)
نثبت AH = AK : من تناظر (MA) محور تناظر لـ AFMD (معيّن ← قطره محور تناظر)
(MA) محور تناظر للمعيّن AFMD ← D و F متناظران بالنسبة إلى (MA)
← (MD) و (MF) متناظران بالنسبة إلى (MA) ← H و K متناظران بالنسبة إلى (MA)
← A منتصف [HK] (A على محور التناظر وعلى (AB))
∴ A منتصف [HK] ✓