رباعيات الأضلاع

📐 السنة الثامنة أساسي التمرين 12 15 نقطة — تمرين 12 من 19
12
ABCD متوازي أضلاع ، AD = 4 cm ، AC = 3 cm ، (AC) ⊥ (AD) ، M منتصف [BC]
ABCD متوازي أضلاع ، AD = 4 cm ، AC = 3 cm ، (AC) ⊥ (AD) ، M منتصف [BC]
  • 1أ-H و K مسقطان عموديان لـ A و B على (DC). قارن مثلثي ADH و BCK.
  • 1ب-استنتج أنّ HK = DC.
  • 2-E مناظرة A بالنسبة إلى M. بيّن أنّ ABEC متوازي الأضلاع.
  • 3-(EB) و (AD) يتقاطعان في F. بيّن أنّ ACBF مستطيل.
  • 4-احسب مساحة BCDF.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

ABCD متوازي أضلاع و (AC) ⊥ (AD) → زاوية DAC = 90° → ABCD مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة)
(1أ) ADH و BCK : AD = BC (أضلاع متقابلة) ، زاويتا H و K = 90° ، زاوية ADH = زاوية BCK
← تطابق زاوية-جانب-زاوية
(2) M منتصف [AM] وM منتصف [BC] ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية
(3) ثلاث زوايا قائمة حسب تعريف المستطيل

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

ملاحظة مهمة : ABCD متوازي أضلاع و (AC) ⊥ (AD) → زاوية CAD = 90°
في متوازي الأضلاع ABCD : زاوية ADC + زاوية DAB = 180°
زاوية DAC = 90° → زاوية CAB = زاوية DAB − 90°...
الأصح : (AC) ⊥ (AD) تعني الضلع AC عمودي على الضلع AD
→ زاوية DAC = 90° → في ABCD paral هذا يعني زاوية A = 90°
∴ ABCD مستطيل بالفعل (AD = 4 cm ، AC = 3 cm)
(1أ) مقارنة ADH و BCK :
• زاوية AHD = زاوية BKC = 90° (H و K مسقطان عموديان)
• AD = BC (أضلاع متقابلة في المستطيل)
• زاوية ADH = زاوية BCK (زاويتا تبادل داخلي : AH // BK لأن كلاهما ⊥ DC)
∴ مثلث ADH = مثلث BCK (زاوية-جانب-زاوية) ✓ (1ب) HK = DC :
من التطابق : DH = CK
DC = DH + HK + KC ← HK = DC − DH − KC = DC − 2·DH
وأيضاً : AB = DC (مستطيل) و AH // BK ← AHKB مستطيل ← HK = AB = DC
∴ HK = DC ✓ (2) ABEC متوازي الأضلاع :
E مناظرة A بالنسبة إلى M → M منتصف [AE]
M منتصف [BC] (معطى)
← نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → ABEC متوازي أضلاع ∴ ABEC متوازي أضلاع ✓ (3) ACBF مستطيل :
F تقاطع (EB) و (AD)
في ABEC متوازي أضلاع : AE // BC و AE = BC ، AB // EC و AB = EC
(EB) يمتد ليقطع (AD) في F : BF // CE... نثبت ACBF paral :
AC // BF (AC // BF لأن AC ضلع في المستطيل ABCD وBF امتداد AD)
الأصح : AF // CB (AF على (AD) وهو امتداد DC أو AD)
في ABEC paral : AB // CE ، زاوية BAC = 90° (ABCD مستطيل)
F على (AD) : AF = AD + DF. ABEC paral → قطرا ABEC هما [AE] و [BC] ← يتقاطعان في M
(EB) يقطع (AD) في F → FB = FE (F منتصف [BE]? ← لا)
أبسط : ACBF : AC // FB ؟ AC ⊥ AD ، FB ⊂ (AD) → AC ⊥ FB
ABEC paral → EC // AB. زاوية ECA = زاوية CAB = 90° → زاوية FCA = 90° (F على (AD))
∴ 3 زوايا في ACBF قائمة : زاوية A = 90° (AC ⊥ AD) ، زاوية C = 90°
∴ ACBF مستطيل (3 زوايا قائمة) ✓ (4) مساحة BCDF :
في مستطيل ABCD : AC = 3 cm ، AD = 4 cm
ABCD مستطيل : AB = DC ، BC = AD = 4 cm
مساحة ABCD = AC × AD = 3 × 4 = 12 cm²
ACBF مستطيل : AF = AB = DC (من ABEC paral → EC = AB وAC = BF = AD)
مساحة BCDF = مساحة ABCD + مساحة مثلث ABF أو طرح...
في ACBF مستطيل : AC = 3 ، AF = AB = DC
AB = DC (مستطيل ABCD) ← نحتاج قيمة AB = DC
ABCD مستطيل و AD ⊥ AC و AD = 4 و AC = 3 ← AB = DC
ليست معطاة مباشرة. BCDF = مثلث BCD + مثلث BDF
SBCD = (1/2)·BC·DC = (1/2)·4·DC
SBCDF = SABCF − SABD...
في مستطيل ACBF : AC = 3 و CB = AD = 4
SACBF = AC × CB = 3 × 4 = 12 cm²
SBCDF = SACBF − SACD = 12 − (1/2)·AC·AD = 12 − (1/2)·3·4 = 12 − 6 = 6 cm²
∴ مساحة BCDF = 6 cm² ✓

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

• ABCD مستطيل (متوازي أضلاع + AC ⊥ AD)
• مثلث ADH = مثلث BCK → HK = DC
• ABEC متوازي أضلاع ([AE] و [BC] لهما منتصف M)
• ACBF مستطيل (3 زوايا قائمة)
• مساحة BCDF = 6 cm²