رباعيات الأضلاع

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) BCED معيّن :
A منتصف [BE] (E مناظرة B/A) و A منتصف [CD] (D مناظرة C/A)
← في الرباعي BCED نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → BCED متوازي أضلاع
BC = DE (أضلاع متقابلة في متوازي الأضلاع)
BD = CE (أضلاع متقابلة في متوازي الأضلاع)
نثبت BC = BD : في مثلث ABD وفي مثلث ABC :
AB = AE (مناظرة) ، AC = AD (مناظرة) ، زاوية BAC = 90°
زاوية DAE = 90° (متناظران بالنسبة إلى A : الزاوية تُحفظ)
في مثلث ABС قائم في A : BC قطر الدائرة المحيطة
AE = AB و AD = AC → مثلث AED = مثلث ABC (ج-ز-ج) ← ED = BC
إذن BC = DE و BD = CE ← ضلعان متتاليان متساويان في BCED
∴ BCED معيّن (متوازي أضلاع + BC = CE) ✓ (2ب) BK = AC :
ADBK متوازي أضلاع → BK = AD و BK // AD
AD = AC (D مناظرة C/A ← AD = AC)
∴ BK = AD = AC
∴ BK = AC ✓ (3) ABKC مستطيل :
ADBK متوازي أضلاع → AB // DK و AB = DK ← AB // KC (K على DK)
وAD // BK → AC // BK (AD = AC و AD // BK)
ABKC متوازي أضلاع (AB // KC و AB = KC ؟)
الأصح : في ADBK paral : AB // DK ، AD // BK
ABKC : AK قطر مشترك ← [AK] قطر ABKC أيضاً ؟
نثبت ABKC paral : BK // AC (BK // AD و AD = AC على نفس المستقيم ← BK // CA) و BK = AC
← ABKC متوازي أضلاع (BK // AC و BK = AC)
زاوية BAC = 90° (ABC قائم في A)
∴ ABKC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في A) ✓ (4) DE = 2·AI :
I تقاطع (AK) و (BC)
في مستطيل ABKC : من موضع I على (AK) و(BC) نستعمل علاقات الأوساط لإثبات المطلوب
∴ AI = AK/2 ← AK = 2·AI
في ADBK متوازي أضلاع : AK قطر و BD قطر → AK = BD (قطرا متوازي أضلاع ليسا بالضرورة متساويان)
BCED معيّن → DE = BC
في مستطيل ABKC : AK = BC (تساوي أطوال مناسبة في المستطيل)
∴ AK = BC = DE ← DE = AK = 2·AI
∴ DE = 2·AI ✓