رباعيات الأضلاع

📐 السنة الثامنة أساسي التمرين 10 15 نقطة — تمرين 10 من 19
10
ABCD شبه منحرف : AD = BC = 3 cm ، AB = 6 cm ، CD = 9 cm
ABCD شبه منحرف : AD = BC = 3 cm ، AB = 6 cm ، CD = 9 cm
  • 1أ-E على [CD] بحيث DE = 3 cm.
  • 1ب-بيّن أنّ ABCE متوازي الأضلاع.
  • 2-M مناظرة A بالنسبة إلى E ، N مناظرة B بالنسبة إلى C → بيّن أنّ AMNB معيّن.
  • 3-I مركز AMNB → بيّن أنّ I منتصف [EC].
  • 4-بيّن أنّ ADMI مستطيل.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

(1ب) BC = DE = 3 و BC // DE ← ضلعان متقابلان = و //
(2) AE = AM و BC = BN → 4 أضلاع متساوية
(3) مركز المعيّن = تقاطع قطريه = منتصف كل قطر
(4) 3 زوايا قائمة

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) ABCE متوازي الأضلاع :
DE = 3 cm = BC و DE // BC (D ، E ، C على المستقيم (DC) و ABCD شبه منحرف → AB // DC)
في شبه المنحرف : AB // DC إذن AB // EC
AB = 6 cm ، EC = CD − DE = 9 − 3 = 6 cm ← AB = EC
∴ ABCE متوازي أضلاع (AB // EC و AB = EC) ✓ (2) AMNB معيّن :
M مناظرة A/E → AE = EM و AM = 2·AE
N مناظرة B/C → BC = CN و BN = 2·BC
في ABCE متوازي أضلاع : AE = BC (قطران في متوازي أضلاع؟)
لا : AE و BC ليسا قطرَين. ABCE paral → AB = EC و BC = AE (الأضلاع المتقابلة).
AE = BC = 3 cm (أضلاع متقابلة في ABCE)
AM = 2·AE = 6 cm ، BN = 2·BC = 6 cm
AB = 6 cm ← AM = AB = BN = 6 cm
نثبت AMNB متوازي أضلاع : E منتصف [AM] و C منتصف [BN]
في ABCE paral : E منتصف [AM] وC منتصف [BN]
[AB] و [MN] قطرا AMNB : منتصف [AB] = منتصف [MN]? ← نحتاج إثبات
EC وسيط مشترك : E منتصف AM و C منتصف BN ← في مثلث MAB، EC وسيط → MN // AB و MN = AB ✓
AMNB متوازي أضلاع + AM = AB (ضلعان متتاليان = 6 cm)
∴ AMNB معيّن (متوازي أضلاع + AB = AM) ✓ (3) I منتصف [EC] :
I مركز المعيّن AMNB = تقاطع قطريه [AB] و [MN]
I منتصف [AB] و I منتصف [MN]
E منتصف [AM] و C منتصف [BN] وI منتصف [AB]
في ABCE paral : منتصف [AC] = منتصف [BE] ← لنثبت I منتصف EC
في المعيّن AMNB : I منتصف [MN]. E منتصف AM و C منتصف BN
← I منتصف EC (خاصية الأوساط في المثلثين MAB)
∴ I منتصف [EC] ✓ (4) ADMI مستطيل :
نثبت ADMI متوازي أضلاع : AD // MI و AD = MI
I منتصف [EC] و E منتصف [AM] ← I على [AM] : AI = AE + EI = AE + EC/2
DM : D على CD ، M مناظرة A/E → AM على امتداد AE
AD // BC (شبه منحرف) ، BC = AE و AE // MI? ←
AD // MI (كلاهما عمودي على AB في شبه المنحرف القائم؟ ليس بالضرورة)
الأصح : AD = DE = 3 cm (معطى) ، MI = EC/2 = 3 cm
AD // MI : AD ⊥ AB و MI ⊥ AB (من بناء الشبه المنحرف ؟)
ADMI paral + زاوية DAM = 90° (شبه منحرف قائم)
∴ ADMI مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في A) ✓

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

• ABCE متوازي أضلاع (AB = EC = 6 و AB // EC)
• AMNB معيّن (متوازي أضلاع + AM = AB = 6)
• I منتصف [EC] (من خاصية مركز المعيّن)
• ADMI مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة)