رباعيات الأضلاع

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) DBCE متوازي الأضلاع :
CE // BD (بناء : Δ من C موازٍ لـ BD)
ABCD مستطيل → AB // DC و AB = DC ، AD // BC و AD = BC
E على (AD) وعلى Δ ← CE // BD
نثبت CE = BD : في مستطيل ABCD قطراه BD = AC (تساوي أطوال مناسبة)
E على امتداد AD : زاوية CED = زاوية BDA (تبادل مع BD // CE)
في مثلث DCE و مثلث ABD : DC = AB ، زاوية DCE = زاوية ABD ، CE // BD
DCE = DAB (تطابق) ← CE = BD
∴ DBCE متوازي أضلاع (CE // BD و CE = BD) ✓ (1ج) طبيعة مثلث ACE :
في DBCE متوازي أضلاع : DE = BC
ABCD مستطيل → BC = AD ، AE = AD + DE = AD + BC = 2·AD
DB // CE و DE // BC
في مستطيل ABCD : AC = BD = CE ← AC = CE
زاوية ACE = 90°? : AE على (AD) ، AC قطر مستطيل ، زاوية DAC ...
في مستطيل : زاوية ACD = زاوية ADB (مثلثان متساويان)
AE = 2·AD و AC = قطر ← مثلث ACE : AC = CE (مثبت) → متقايس الضلعين
∴ ACE متقايس الضلعين : AC = CE ✓ (2ب) ACEF معيّن :
F مناظرة C بالنسبة إلى D → D منتصف [CF]
في مستطيل ABCD : D منتصف [AC]؟ لا ← O منتصف [AC]
نثبت ACEF متوازي أضلاع : D منتصف [CF] (مناظرة)
نحتاج منتصف [AE] = D أيضاً ؟ AE = 2·AD ومنتصفه النقطة على AD بعد AD عن A
الطريقة الصحيحة : AF // EC و AF = EC :
F مناظرة C/D : DF = DC = AB ، AF = AD + DF = AD + AB
EC = ED + DC : ED = BC = AD (paral) ، DC = AB → EC = AD + AB = AF ✓
AF // EC (كلاهما على امتداد الأضلاع المتوازية)
← ACEF متوازي أضلاع (AF = EC و AF // EC)
AC = CE (مثبت في 1ج) ← ضلعان متتاليان متساويان
∴ ACEF معيّن (متوازي أضلاع + AC = CE) ✓