رباعيات الأضلاع

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1أ) مقارنة OEB و ODF :
• OB = OD : O مركز المستطيل ← الأضلاع المتقابلة متساوية اثنين اثنين
• زاوية OBE = زاوية ODF : في مستطيل ABCD ، AB // DC ← زاويتا تبادل داخلي
• زاوية BOE = زاوية DOF : زاويتا قمة متقابلتان
∴ مثلث OEB = مثلث ODF (جانب-زاوية-جانب) ✓ (1ب) O منتصف [EF] :
من تساوي المثلثين : OE = OF
∴ O منتصف [EF] ✓ (2) EBFD معيّن :
O منتصف [EF] (مثبت أعلاه)
O منتصف [BD] (مركز المستطيل)
← [EF] و [BD] EB = FD و BF = DE → EBFD متوازي أضلاع
Δ هو الموسّط العمودي لـ [BD] → (EF) ⊥ (BD) (لأن E و F على Δ)
∴ EBFD معيّن (رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة) ✓ (3أ) مساحة EBFD بدلالة x :
بما أن E على [AB] و AE = x فإن EB = AB − AE = 8 − x.
من السؤال (1أ) نحصل كذلك على DF = AE = x.
نحسب المساحة بتقسيم المعيّن بالقطر [BD] إلى مثلثين، مع استعمال الارتفاع AD = 4 cm فقط:
S_△EBD = (EB × AD) / 2 = ((8−x) × 4) / 2 = 16 − 2x.
S_△FBD = (DF × AD) / 2 = (x × 4) / 2 = 2x.
إذن S_EBFD = (16 − 2x) + 2x = 16 cm².
∴ مساحة EBFD ثابتة وتساوي 16 cm² باستعمال تفكيك إلى مثلثين. ✓ (3ب) مناقشة الشرط :
S_ABCD = AB × AD = 8 × 4 = 32 cm².
إذا كان S_ABCD = (8/5)·S_EBFD فإن S_EBFD = 32 × 5 / 8 = 20 cm².
لكننا أثبتنا في (3أ) أن S_EBFD = 16 cm² مهما كان موضع E الموافق للإنشاء.
∴ الشرط العددي غير منسجم مع المعطيات، لذلك لا توجد قيمة لـ x تحقق هذا الشرط كما هو مكتوب. ✓