رباعيات الأضلاع

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1) ABDC مستطيل :
D مناظرة A بالنسبة إلى I → I منتصف [AD]
I منتصف [BC] (معطى)
← [AD] و [BC] يشتركان في نفس نقطة الوسط → ABDC متوازي أضلاع
زاوية BAC = 90° (ABC قائم في A)
∴ ABDC مستطيل ✓ (2) ADCE متوازي أضلاع :
E مناظرة B بالنسبة إلى A → A منتصف [BE]
في مستطيل ABDC : A منتصف [DC] (في المستطيل نستعمل تعريفه: ثلاث زوايا قائمة، ثم خصائص الأطوال المناسبة وI منتصف AD وBC)
الأصح: في مستطيل ABDC قطراه [AD] و [BC] يتقاطعان في I
لإثبات ADCE paral : AD // CE ؟ AD // BC (متوازي أضلاع ABDC) ، CE...
E مناظرة B/A → AE = AB و AE // AB (نفس المستقيم اتجاه معاكس)
في مستطيل ABDC : AB // DC و AB = DC
AE = AB = DC و AE // DC → ADCE متوازي أضلاع (AE = DC و AE // DC)
∴ ADCE متوازي أضلاع ✓ (3) BCEF معيّن :
F مناظرة C بالنسبة إلى A → AF = AC و AF // AC
E مناظرة B بالنسبة إلى A → AE = AB
زاوية BAC = 90° → زاوية EAF = 90° (متناظران)
BE = 2·AB ، CF = 2·AC
في BCEF : BC = EF (متوازي أضلاع) ، BF = CE
نثبت 4 أضلاع متساوية : BC = EF = BF = CE
في المستطيل ABDC : BC = AD
ADCE paral : CE = AD → CE = BC
BCEF : BC = CE ← ضلعان متتاليان متساويان
نثبت BCEF paral : E مناظرة B/A و F مناظرة C/A → A منتصف [BE] و A منتصف [CF]
← في الرباعي BCEF نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → BCEF متوازي أضلاع
BCEF متوازي أضلاع + BC = CE (ضلعان متتاليان)
∴ BCEF معيّن ✓ (4) BKEL مربّع :
الدائرة مركزها A وقطرها [BE] : AK = AL = AB = AE (نصف قطر = AB)
K على [AC] : زاوية AKB = 90° (زاوية في نصف دائرة)
L على [AF] : زاوية ALB = 90°
BK = BL (أوتار متساوية لأن K و L على الدائرة ومتماثلتان بالنسبة لـ AB)
BKEL مستطيل (3 زوايا قائمة) + BK = KE (من تناظر)
∴ BKEL مربّع (مستطيل + ضلعان متتاليان متساويان) ✓