التمرين 6 - رباعيات الأضلاع

مثلث ABC قائم في A ، AB = 3 cm ، AC = 4 cm ، I منتصف [BC]

1أ-ابن D مناظرة A بالنسبة إلى I.
1ب-بيّن أنّ ABDC مستطيل.
2أ-ابن E بحيث B منتصف [AE].
2ب-بيّن أنّ BEDC متوازي الأضلاع.
2ج-بيّن أنّ ADE متقايس الضلعين.
3أ-ابن M بحيث B منتصف [DM].
3ب-بيّن أنّ ADEM معيّن.

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

(1ب) I منتصف [AD] و I منتصف [BC] ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية + زاوية قائمة
(2ب) أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين
(2ج) DA = DE ← متقايس
(3ب) متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) ABDC مستطيل :
D مناظرة A بالنسبة إلى I → I منتصف [AD]
I منتصف [BC] (معطى)
← في الرباعي ABDC نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → ABDC متوازي أضلاع
زاوية BAC = 90° (ABC قائم في A)
∴ ABDC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في A) ✓ (2ب) BEDC متوازي الأضلاع :
B منتصف [AE] → AB = BE
في مستطيل ABDC : AB = DC و AB // DC
∴ BE = DC و BE // DC
∴ BEDC متوازي أضلاع (BE = DC و BE // DC) ✓ (2ج) ADE متقايس الضلعين :
في مستطيل ABDC : القطران AD = BC
BEDC متوازي أضلاع → ED = BC
∴ AD = BC = ED
∴ ADE متقايس الضلعين : DA = DE ✓ (3ب) ADEM معيّن :
B منتصف [DM] → DB = BM
B منتصف [AE] → AB = BE
في BEDC متوازي أضلاع : أضلاعه المتقابلة متوازية أو متساوية اثنين اثنين
نثبت ADEM متوازي أضلاع : A منتصف [DE]... لا
ADEM : AD // ME ؟ في مستطيل ABDC : AD // BC ، في BEDC : DE // BC → AD // DE ... لا
الطريقة الصحيحة : B منتصف [AE] و B منتصف [DM]
← نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → ADEM متوازي أضلاع (القطران)
في مستطيل ABDC : AB = DC، BEDC paral : BE = DC → AB = BE
AD = AE (من 2ج : DA = DE وAD = DE، AE = 2AB = 2DC = AD...)
ضلعان متتاليان في ADEM : AD = DE (من 2ج)
∴ ADEM معيّن (متوازي أضلاع + AD = DE) ✓

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

• ABDC مستطيل (أضلاع متقابلة متساوية أو متوازية I + زاوية قائمة في A)
• BEDC متوازي أضلاع (BE = DC و BE // DC)
• ADE متقايس الضلعين (DA = DE)
• ADEM معيّن (متوازي أضلاع لأن B منتصف [AE] و [DM] + AD = DE)