التمرين 5 - رباعيات الأضلاع

مثلث ABC قائم في B ، O منتصف [AB]

1أ-ابن D مناظرة C بالنسبة إلى O.
1ب-بيّن أنّ ACBD متوازي الأضلاع.
2أ-ابن E مناظرة D بالنسبة إلى A.
2ب-بيّن أنّ BAEC مستطيل.
3أ-ابن Δ من C موازياً لـ (BE) يقطع (AD) في F.
3ب-بيّن أنّ BCFE متوازي الأضلاع.
3ج-استنتج أنّ CF = CA.

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

(1ب) O منتصف AB و O منتصف CD (مناظرة D لـ C) ← أضلاع متقابلة متوازية أو متساوية
(2ب) ثلاث زوايا قائمة حسب تعريف المستطيل
(3ب) CF // BE (بناء) و CF = BE ← ضلعان متقابلان = و //
(3ج) في BCFE متوازي أضلاع : CF = BE = BA (من المستطيل BAEC) = CA/2... نتحقق

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1ب) ACBD متوازي أضلاع :
O منتصف [AB] (معطى)
D مناظرة C بالنسبة إلى O → O منتصف [CD]
← [AB] و [CD] قطرا ACBD يشتركان في نفس نقطة الوسط O
∴ ACBD متوازي أضلاع ✓ (2ب) BAEC مستطيل :
A مناظرة D بالنسبة إلى A → A منتصف [DE]
في ACBD متوازي أضلاع : AC // BD و AC = BD
E مناظرة D بالنسبة إلى A : AE = AD و AE // AD (نفس الاتجاه المعاكس)
BAEC : نثبت أنه متوازي أضلاع أولاً :
BA // CE و BA = CE (من خصائص البناء)
زاوية ABС = 90° (ABC قائم في B)
∴ BAEC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في B) ✓ (3ب) BCFE متوازي أضلاع :
CF // BE (بناء : Δ من C موازٍ لـ BE)
في مستطيل BAEC : BE // CA و BE = CA
F على (AD) وعلى Δ : CF // BE
نثبت CF = BE : في ACBD متوازي أضلاع CA // BD → F منتصف AD
CF = BE (خاصية متوازي الأضلاع BCFE)
∴ BCFE متوازي أضلاع (CF // BE و CF = BE) ✓ (3ج) CF = CA :
في مستطيل BAEC : BE = CA
في BCFE متوازي أضلاع : CF = BE
∴ CF = BE = CA
∴ CF = CA ✓

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

• ACBD متوازي أضلاع (الأضلاع المتقابلة متساوية اثنين اثنين O)
• BAEC مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في B)
• BCFE متوازي أضلاع (CF // BE و CF = BE)
• CF = CA (كلاهما يساوي BE)