التمرين 3 - رباعيات الأضلاع

ABC متقايس الأضلاع ، I منتصف [BC] ، O منتصف [AC] ، H مناظرة I بالنسبة إلى O

1)بيّن أنّ AHCI مستطيل.
2)بيّن أنّ HABI متوازي الأضلاع.
3)المستقيمان (AI) و (OB) يتقاطعان في G. (CG) يقطع (AB) في J. بيّن أنّ J منتصف [AB].

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

H مناظرة I بالنسبة إلى O → O منتصف [HI]
O منتصف [AC] (معطى)
(1) الأضلاع المتقابلة متساوية اثنين اثنين → متوازي أضلاع، ثم 3 زوايا قائمة
(2) أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين
(3) نستعمل متوازي الأضلاع AHCI لإثبات أن (CG) وسيط

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1) AHCI مستطيل :
O منتصف [HI] (H مناظرة I بالنسبة إلى O)
O منتصف [AC] (معطى)
← في الرباعي AHCI نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة أو تساويها اثنين اثنين → AHCI متوازي أضلاع
ABC متقايس الأضلاع و I منتصف [BC] و O منتصف [AC]
في المثلث ABC المتقايس الأضلاع : (AI) ⊥ (BC) (الوسيط = العمود في المتقايس الأضلاع)
كذلك (OI) // (AB) و (OI) ⊥ (AI) ...
زاوية AIC = 90° (AI عمودي على BC وI على BC)
∴ AHCI مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة في I) ✓ (2) HABI متوازي الأضلاع :
في مستطيل AHCI : HI = AC و HI // AC
O منتصف AC → AC = 2·AO
H مناظرة I بالنسبة O → HI = 2·OI
في المثلث ABC : O منتصف AC و I منتصف BC → OI // AB و OI = AB/2
∴ HI = 2·OI = AB و HI // AB (لأن OI // AB)
← HABI متوازي أضلاع (HA // BI لأن HI // AB و HI = AB) ✓ (3) J منتصف [AB] :
في AHCI المستطيل : I منتصف BC و A رأس ← (AI) وسيط المثلث ABC
(OB) في مستطيل AHCI : O منتصف AC و B ... G تقاطع (AI) و (OB)
في المثلث ABC : O منتصف AC و G نقطة على (AI) و (OB)
بما أن HABI متوازي أضلاع وG نقطة التقاطع :
(CG) يمر بـ G ويقطع AB في J
في المثلث ABI : G نقطة تقاطع (AI) و (OB) حيث O منتصف AI ...
في المثلث CAB : (CG) يقطع AB في J ← بخاصية الوساطة J منتصف [AB] ∴ J منتصف [AB] ✓

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

• AHCI مستطيل (قطران يتشاركان منتصف + زاوية قائمة في I)
• HABI متوازي أضلاع (HI = AB و HI // AB)
• J منتصف [AB] بخاصية الأوساط في المثلث