التمرين 2 - رباعيات الأضلاع

مثلث ABC قائم الزاوية في B ، AB = 3 ، AC = 5 ، I منتصف [AC]

(1) D مناظرة B بالنسبة إلى I

أ-بيّن أنّ ABCD مستطيل.
ب-احسب BD.

(2) B منتصف [AE]

أ-بيّن أنّ BECD متوازي الأضلاع.
ب-بيّن أنّ AEC متقايس الضلعين.

(3) M منتصف [EC]

بيّن أنّ MBIC معيّن.

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

(1أ) متوازي أضلاع + 3 زوايا قائمة لإثبات المستطيل
I منتصف [AC] و I منتصف [BD] (تناظر D بالنسبة إلى I) ← القطران [AC] و [BD] متقاطعان في I منتصفيهما
(1ب) في مستطيل ABCD : BD = AC = 5
(2أ) أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين
(2ب) AE = 2·AB = 6 و AC = 5 ← ليسا متساويَين... نثبت AE = EC
(3) متوازي أضلاع + ضلعان متتاليان متساويان → معيّن

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(1أ) ABCD مستطيل :
D مناظرة B بالنسبة إلى I → I منتصف [BD]
I منتصف [AC] (معطى)
AB // CD و AD // BC → ABCD متوازي أضلاع
زاوية ABC = 90° (ABC قائم في B)
∴ ABCD مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة) ✓ (1ب) BD :
في المستطيل ABCD نحصل على تساوي الأطوال المناسبة من خصائص الشكل : BD = AC = 5 ✓ (2أ) BECD متوازي أضلاع :
B منتصف [AE] → AB = BE
في مستطيل ABCD : AB = DC و AB // DC
∴ BE = DC و BE // DC
← BECD متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين أو متوازية اثنين اثنين) ✓ (2ب) AEC متقايس الضلعين :
في مستطيل ABCD : BC = AD
BECD متوازي أضلاع → EC = BD = AC = 5
AE = 2·AB = 2·AB و AB = DC
في مستطيل ABCD : BC = AD
EC = BD = AC → AEC لديه EC = AC
∴ المثلث AEC متقايس الضلعين (AC = EC) ✓ (3) MBIC معيّن :
M منتصف [EC] و I منتصف [AC]
في مستطيل ABCD : I منتصف [AC] و I منتصف [BD]
BECD متوازي أضلاع → أضلاعه المتقابلة متساوية أو متوازية اثنين اثنين
M منتصف [EC] و I منتصف [AC]
BI = IC (I منتصف AC في المستطيل ← لا، I منتصف [AC] فقط)
في مستطيل ABCD : IC = IA = AC/2 = 5/2
BECD متوازي أضلاع → MB = MD و MI = IC
نثبت MI = IC = MB = BI : جميع أضلاع MBIC متساوية
IB = IC = AC/2 (I منتصف AC)
MI = EC/2 = AC/2 (M منتصف EC و EC = AC)
MB = BE/2 = AB (B منتصف AE و M منتصف EC في متوازي الأضلاع)
∴ MI = IB = IC = MB ← 4 أضلاع متساوية
∴ MBIC معيّن ✓

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

• ABCD مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة)
• BD = AC = 5
• BECD متوازي أضلاع (BE = DC و BE // DC)
• AEC متقايس الضلعين (AC = EC)
• MBIC معيّن (4 أضلاع متساوية)