التمرين 1 - رباعيات الأضلاع

مثلث ABC متقايس الأضلاع : AB = BC = CA

(1)

أ-ابن D مناظرة B بالنسبة إلى A ، و E مناظرة C بالنسبة إلى A.
ب-ابن F مناظرة A بالنسبة إلى (BC).

(2)

أ-بيّن أنّ ABFC معيّن.
ب-بيّن أنّ BCDE مستطيل.

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — تحديد الأدوات

(2أ) المعيّن ABFC : نستعمل 4 أضلاع متساوية
F مناظرة A بالنسبة إلى (BC) ← التناظر بالنسبة إلى مستقيم يحفظ الأبعاد :
• BF = BA • CF = CA
المثلث ABC متقايس الأضلاع : AB = BC = CA
إذن : AB = BF = FC = CA ← 4 أضلاع متساوية

(2ب) المستطيل BCDE : نستعمل ثلاث زوايا قائمة حسب تعريف المستطيل
D مناظرة B بالنسبة إلى A ← A منتصف [BD]
E مناظرة C بالنسبة إلى A ← A منتصف [CE]
القطران BD و CE للرباعي BCDE يتقاطعان في A منتصفيهما.

📝 الخطوة 2 — الإثبات المفصّل

(2أ) ABFC معيّن :
التناظر بالنسبة إلى (BC) يحفظ الأطوال :
BF = BA و CF = CA
المثلث ABC متقايس الأضلاع : AB = BC = CA
∴ AB = BF = FC = CA
← الرباعي ABFC له 4 أضلاع متساوية، إذن ABFC معيّن ✓ (2ب) BCDE مستطيل :
الخطوة الأولى — متوازي أضلاع :
A منتصف [BD] ← (خاصية المناظرة المركزية بالنسبة إلى A)
A منتصف [CE] ← (خاصية المناظرة المركزية بالنسبة إلى A)
BC = DE و CD = BE
← BCDE متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متساوية اثنين اثنين)

الخطوة الثانية — التساوي أطوال مناسبة :
D مناظرة B بالنسبة إلى A : BD = 2·BA
E مناظرة C بالنسبة إلى A : CE = 2·CA
المثلث ABC متقايس الأضلاع : BA = CA
∴ BD = 2·BA = 2·CA = CE
القطران BD و CE متساويان

✅ الخطوة 3 — ملخّص النتائج

BCDE متوازي أضلاع وقطراه BD و CE متساويان
∴ BCDE مستطيل ✓