1) ارسم دائرة $\mathcal{C}$ مركزها $H$ وشعاعها $r = 3$ سم. $[HT]$ طوله $3$ سم، ثم ارسم الموسط العمودي $\Delta$ لـ $[HT]$.
نرسم النقطة $H$ ثم الدائرة بفتحة بركار $3$ سم.بما أن $HT = 3$ سم، فإن $T$ تقع على الدائرة.نرسم $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[HT]$ (يمر من المنتصف وعمودي).
2) المستقيم $\Delta$ يقطع الدائرة $\mathcal{C}$ في نقطتين $A$ و $C$ ويقطع $(HT)$ في $I$. بيّن أنّ الرباعي $CHAT$ معين.
بما أن $A$ و $C$ على الموسط العمودي لـ $[HT]$، فإن $AH = AT$ و $CH = CT$.بما أن $A$ و $C$ على الدائرة التي مركزها $H$ وشعاعها $3$ سم، فإن $HA = HC = 3$ سم.بما أن $HT = 3$ سم، فإن $HA = HC = AT = CT = 3$ سم.رباعي له 4 أضلاع متقايسة هو معين.
3) ارسم المستقيم العمودي على $(HT)$ في $H$ والمستقيم العمودي على $(IC)$ في $C$ وسمِّ $E$ نقطة تقاطعهما. أثبت أنّ الرباعي $ECIH$ مستطيل.
لدينا $(HI) \perp (CI)$ (لأن $\Delta$ موسط عمودي).ولدينا $(HE) \perp (HI)$ و $(CE) \perp (CI)$ (من المعطيات).رباعي له 3 زوايا قائمة هو مستطيل.
التمرين الثاني
(وحدة القيس هي السنتيمتر)
1) ابنِ متوازي أضلاع $JOIE$ بحيث $OJ = 6$ و $OI = 4$ و $\widehat{JOI} = 70^{\circ}$. بيّن أنّ $\widehat{JEI} = 70^{\circ}$ و $\widehat{EIO} = 110^{\circ}$.
بما أن $JOIE$ متوازي أضلاع، فإن الزوايا المتقابلة متقايسة، إذن $\widehat{JEI} = \widehat{JOI} = 70^{\circ}$.الزوايا المتتالية في متوازي الأضلاع متكاملة، إذن $\widehat{EIO} = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.
2) أ) ابنِ منصفي الزاويتين $\widehat{JEI}$ و $\widehat{EIO}$ وسمِّ $S$ نقطة تقاطعهما. ب) بيّن أنّ المثلث $SIE$ قائم الزاوية في $S$.
قيس $\widehat{SEI} = 70 \div 2 = 35^{\circ}$ وقيس $\widehat{SIE} = 110 \div 2 = 55^{\circ}$.في المثلث $SIE$: مجموع الزوايا هو $180^{\circ}$.$\widehat{ESI} = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 55^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.إذن المثلث قائم الزاوية في $S$.
3) منصفا الزاويتين $\widehat{IOJ}$ و $\widehat{OJE}$ يتقاطعان في نقطة $F$ ومنصفا الزاويتين $\widehat{IOJ}$ و $\widehat{OJE}$ يتقاطعان في نقطة $A$. سمِّ $X$ نقطة تقاطع $(AJ)$ و $(ES)$. ما هي طبيعة الرباعي $SFAX$؟ علّل جوابك.
منصفات زوايا متوازي الأضلاع تشكل مستطيلاً.كل زاويتين متتاليتين في متوازي الأضلاع يكون منصفاهما متعامدين (مجموع نصفي الزاويتين هو $90^{\circ}$).بما أن الرباعي له زوايا قائمة، فهو مستطيل.
4) المستقيم $(OA)$ يقطع $(EI)$ في نقطة $T$ والمستقيم $(ES)$ يقطع $(OJ)$ في نقطة $N$. أثبت أنّ الرباعي $NOTE$ متوازي أضلاع.
نثبت أن الضلعين المتقابلين متوازيين بناءً على المعطيات والمنصفات.
5) لتكن $M$ مركز متوازي الأضلاع $JOIE$. بيّن أنّ النقاط $M$ و $N$ و $T$ على استقامة واحدة.
بما أن $M$ هي نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع $JOIE$، فهي منتصف كلّ من القطرين.بما أن الرباعي $NOTE$ متوازي أضلاع، فإن قطراه $[OT]$ و $[NE]$ يتقاطعان في منتصفهما.بما أن $M$ هي منتصف القطر المشترك، فإن النقاط تقع على استقامة واحدة.