1) ارسم دائرة $\mathcal{C}$ مركزها $H$ وشعاعها $r = 3$ سم. $[HT]$ طوله $3$ سم، ثم ارسم الموسط العمودي $\Delta$ لـ $[HT]$.
نرسم النقطة $H$ ثم الدائرة بفتحة بركار تساوي $3$ سم.بما أن $r = 3$ سم و $HT = 3$ سم، فإن النقطة $T$ تنتمي إلى الدائرة $\mathcal{C}$.نرسم الموسط العمودي $\Delta$ للقطعة $[HT]$ (يمر من المنتصف وعمودي عليها).
2) المستقيم $\Delta$ يقطع الدائرة $\mathcal{C}$ في نقطتين $A$ و $C$ ويقطع $(HT)$ في $I$. بيّن أنّ الرباعي $CHAT$ معين.
لدينا $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[HT]$، والنقطتان $A$ و $C$ تنتميان إلى $\Delta$.إذن $AH = AT$ و $CH = CT$ (خاصية الموسط العمودي).بما أن $A$ و $C$ تنتميان للدائرة التي مركزها $H$ وشعاعها $3$ سم، فإن $HA = HC = 3$ سم.ولدينا $HT = 3$ سم، إذن $HA = HC = AT = CT = 3$ سم.رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة هو معين، إذن $CHAT$ معين.
3) ارسم المستقيم العمودي على $(HT)$ في $H$ والمستقيم العمودي على $(IC)$ في $C$ وسمِّ $E$ نقطة تقاطعهما. أثبت أنّ الرباعي $ECIH$ مستطيل.
لدينا $(HI) \perp (CI)$ لأن $\Delta$ موسط عمودي لـ $[HT]$. إذن الزاوية $\widehat{HIC}$ قائمة.من المعطيات: المستقيم المار من $H$ عمودي على $(HT)$ في $H$. إذن الزاوية $\widehat{EHI}$ قائمة.من المعطيات: المستقيم المار من $C$ عمودي على $(IC)$ في $C$. إذن الزاوية $\widehat{ECI}$ قائمة.رباعي له 3 زوايا قائمة هو مستطيل، إذن $ECIH$ مستطيل.
4) المستقيم المار من $H$ والموازي لـ $(IE)$ يقطع $(CE)$ في نقطة $F$. بيّن أنّ:
أ) الرباعي $EFHI$ متوازي أضلاع.
ب) $F \in \mathcal{C}$
ج) $E$ منتصف $[CF]$.
أ) في الرباعي $EFHI$: لدينا $(HF) \parallel (IE)$ (معطيات) و $(HI) \parallel (EF)$ (لأنهما ضلعان متقابلان في المستطيل $ECIH$).رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان هو متوازي أضلاع.ب) بما أن $EFHI$ متوازي أضلاع، فإن $HF = IE$. وبما أن $ECIH$ مستطيل، فإن $IE = HC$.إذن $HF = HC = 3$ سم (الشعاع). بما أن البعد بين $F$ والمركز $H$ يساوي الشعاع، فإن $F \in \mathcal{C}$.ج) بما أن $ECIH$ مستطيل فإن $EC = HI$. وبما أن $EFHI$ متوازي أضلاع فإن $EF = HI$.نستنتج أن $EC = EF$. وبما أن النقط $C, E, F$ على استقامة واحدة، فإن $E$ منتصف $[CF]$.