في الرسم المقابل \(AECF\) متوازي أضلاع حيث:
\(\widehat{AEC} = 45^\circ\)
و \(D\) منتصف \([EC]\)
و \((AD) \perp (EC)\).
1) بيّن أن \(AE = AC\)
في المثلث \(AEC\)، لدينا المستقيم \((AD)\) يمر من القمة \(A\) وعمودي على الضلع المقابل \([EC]\) في منتصفه \(D\).
إذن \((AD)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([EC]\).
وبما أن \(A\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([EC]\)، فإنها تبعد نفس البعد عن طرفيها.
وبالتالي: \(AE = AC\).
2) أ. أحسب \(\widehat{EAD}\)
ب. استنتج أن \(AD = ED\)
أ. في المثلث \(ADE\) القائم في \(D\)، لدينا مجموع زوايا المثلث يساوي \(180^\circ\).
إذن: \(\widehat{EAD} = 180^\circ - (\widehat{ADE} + \widehat{AED})\) \(\widehat{EAD} = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ\).
ب. بما أن \(\widehat{EAD} = \widehat{AED} = 45^\circ\)، فإن المثلث \(ADE\) مثلث قائم وقابل للمطابقة في \(D\).
وبالتالي: \(AD = ED\).
3) أ. عيّن النقطة \(B\) المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AF)\)
ب. بيّن أن \(ABCD\) مربع
ج. استنتج أن \(DB = EA\)
أ. النقطة \(B\) هي نقطة تقاطع العمودي من \(C\) على \((AF)\).
ب. في الرباعي \(ABCD\):
بما أن \(AECF\) متوازي أضلاع، فإن \((AF) \parallel (EC)\).
وبما أن \((AD) \perp (EC)\) و \((BC) \perp (AF)\)، فإن \((AD) \parallel (BC)\).
إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع به زاوية قائمة \(\widehat{ADC}=90^\circ\) فهو مستطيل.
ولدينا من السؤال السابق \(AD = ED\) وبما أن \(D\) منتصف \([EC]\) فإن \(ED = DC\)، إذن \(AD = DC\).
مستطيل به ضلعان متتاليان متقايسان هو مربع.
ج. في المربع \(ABCD\)، القطران متقايسان: \(DB = AC\).
وبما أن \(AE = AC\) (من السؤال 1)، فإن \(DB = EA\).
4) بيّن أن \(ABDE\) متوازي أضلاع
الطريقة الأولى: (الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى)
• المثلث \(AEC\) متساوي الساقين رأسه \(A\) لأن \(AE = AC\) (السؤال 1).
• وبما أن \(ABCD\) مربع فإن قطريه متقايسان: \(BD = AC\).
ومنه: \(AE = AC = BD\)، أي \(AE = BD\).
• من جهة أخرى، \(ABCD\) مربع إذن \(AB = DC\)، و \(D\) منتصف \([EC]\) إذن \(ED = DC\).
ومنه: \(AB = DC = ED\)، أي \(AB = ED\).
• إذن في الرباعي \(ABDE\): \(AB = ED\) و \(AE = BD\).
رباعي أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى هو متوازي أضلاع.
الطريقة الثانية: (الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى)
• في المثلث \(AEC\) المتساوي الساقين رأسه \(A\): الزاويتان القاعديتان متقايستان، إذن \(\widehat{AEC} = \widehat{ACE} = 45^\circ\).
ومنه: \(\widehat{EAC} = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\)، أي \((AE) \perp (AC)\).
• وبما أن \(ABCD\) مربع فإن قطريه متعامدان: \((BD) \perp (AC)\).
• المستقيمان \((AE)\) و \((BD)\) عموديان على نفس المستقيم \((AC)\)، إذن \((AE) \parallel (BD)\).
• ولدينا \(ABCD\) مربع إذن \((AB) \parallel (DC)\)، وبما أن \(E, D, C\) على استقامة واحدة فإن \((DC) = (ED)\)، ومنه \((AB) \parallel (ED)\).
• إذن في الرباعي \(ABDE\): \((AE) \parallel (BD)\) و \((AB) \parallel (ED)\).
رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى هو متوازي أضلاع.