1) ارسم متوازي أضلاع $ABCD$ مركزه $O$ بحيث $AB = 7$ سم، $BC = 4$ سم و $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$.
2) احسب معللاً جوابك $\widehat{ADC}$ و $\widehat{DCB}$ و $\widehat{BAD}$.
3) ارسم المسقط العمودي $M$ لـ $A$ على $(DC)$ والمسقط العمودي $N$ لـ $C$ على $(AB)$. بيّن أنّ الرباعي $AMCN$ مستطيل.
4) ارسم المستقيم $\Delta$ المار من $D$ والموازي لـ $(AC)$. $\Delta$ يقطع $(BC)$ في $E$.
أ- بيّن أنّ الرباعي $ACED$ متوازي أضلاع. ب- استنتج أنّ $O$ منتصف $[MN]$. ج- استنتج أنّ $C$ منتصف $[BE]$.
2) $\widehat{ADC} = \widehat{ABC} = 60^{\circ}$ (زاويتان متقابلتان في متوازي أضلاع).2) $\widehat{DCB} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (زاويتان متتاليتان في متوازي أضلاع متكاملتان).3) بما أن $(AB) \parallel (DC)$ فإن البعد بينهما ثابت. بما أن $(AM) \perp (DC)$ و $(CN) \perp (AB)$ فإن $(AM) \parallel (CN)$. رباعي به ضلعان متقابلان متوازيان وزاوية قائمة هو مستطيل.4) أ- في الرباعي $ACED$: $(DE) \parallel (AC)$ (بناءً) و $(AD) \parallel (CE)$ (لأن $ABCD$ متوازي أضلاع)، إذن هو متوازي أضلاع.
تمرين: المستطيل والمعين (رسم توضيحي)
ارسم مستطيلاً $ABCD$ مركزه $O$ بحيث $AB = 6$ سم و $AD = 4$ سم.
1) بيّن أنّ المثلث $OAB$ متقايس الضلعين.
2) المستقيم المار من $A$ والموازي لـ $(BD)$ والمستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(AC)$ يتقاطعان في $M$.
أ- بيّن أنّ الرباعي $AMBO$ متوازي أضلاع. ب- احسب $BM$.
3) المستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع $(AM)$ في $I$.
أ- بيّن أنّ الرباعي $AIBO$ معين. ب- استنتج أنّ $(IO) \perp (BC)$.
1) في المستطيل، القطران متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما. إذن $OA = OB = OC = OD$. بما أن $OA = OB$ فإن المثلث $OAB$ متقايس الضلعين في $O$.2) أ- بما أن $(AM) \parallel (OB)$ و $(BM) \parallel (OA)$ (من المعطيات)، فإن الرباعي $AMBO$ متوازي أضلاع (كل ضلعين متقابلين متوازيان).3) أ- بما أن $AMBO$ متوازي أضلاع وفيه ضلعان متتاليان متقايسان ($OA=OB$)، فهو معين.
تمرين: متوازي الأضلاع والمستطيل المتقدم
1) ارسم متوازي أضلاع $ABCD$ بحيث $AB = 8$ سم، $AD = 4$ سم و $\widehat{ADC} = 70^{\circ}$. عيّن $I$ منتصف $[AB]$.
2) أ- بيّن أنّ الرباعي $AIJD$ متوازي أضلاع واستنتج أنّه معين.
ب- بيّن أنّ الرباعي $BIJC$ معين.
3) لتكن $M$ و $N$ مركزي $AIJD$ و $BIJC$ على التوالي. بيّن أنّ المثلث $ABJ$ قائم الزاوية.
4) أ- بيّن أنّ الرباعي $IMJN$ مستطيل. ب- احسب $MN$.
2) أ- بما أن $I$ منتصف $[AB]$ فإن $AI = 4$ سم. وبما أن $AD = 4$ سم و $(AI) \parallel (DJ)$، فإن الرباعي متوازي أضلاع به ضلعان متتاليان متقايسان فهو معين.3) في المثلث $ABJ$: القطعة $[IJ]$ تربط منتصفات الأضلاع وتساوي نصف $AB$... (تعليل قائم على زوايا المعين).4) أ- بما أن $M$ و $N$ مراكز معينات، فإن الأقطار متعامدة. نثبت وجود 3 زوايا قائمة ليصبح مستطيلاً.
تمرين : معين ATEF
ابنِ معيناً $ATEF$ مركزه $O$ ($AE=5, TF=4$). ارسم $\Delta$ من $A$ موازٍ لـ $(TF)$ و $\Delta'$ من $F$ موازٍ لـ $(AE)$.
2) بيّن أنّ $AOFI$ مستطيل. 3) أثبت أن $AT = OI$. 4) برهن أن $FRIP$ معين.
2) الرباعي $AOFI$ هو متوازي أضلاع (بالبناء) وبه زاوية قائمة $\widehat{AOF}$ (لأن قطري المعين متعامدان)، إذن هو مستطيل.3) $OI = AF$ (قطرا مستطيل) و $AT = AF$ (أضلاع معين)، إذن $AT = OI$.4) بما أن $P$ مناظرة $R$ بالنسبة لـ $(IF)$، فإن $(IF)$ موسط عمودي لـ $[RP]$، بالتالي $FR=FP$ و $IR=IP$. بما أن $RF=RI$ (نصف قطر مستطيل)، فإن الأضلاع الأربعة متقايسة، فهو معين.