الرباعيات الخاصة

سلسلة تمارين تفاعلية محلولة

1

المستطيل وخصائصه المباشرة

ارسم مستطيلاً $ABCD$ حيث $AC = 5$cm و $\widehat{BAC} = 40°$.

المطلوب: احسب $BD$ و $\widehat{CAD}$.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

تذكر خاصيتين أساسيتين للمستطيل: كيف هي أقطاره؟ وما هو قياس زواياه؟

📝 خارطة طريق الحل

  1. لحساب $BD$: استخدم خاصية تقايس قطري المستطيل.
  2. لحساب $\widehat{CAD}$: استخدم حقيقة أن زوايا المستطيل قائمة، وقم بعملية طرح بسيطة.

✅ الحل المفصل

خاصية 1: في المستطيل، يكون القطران متقايسين.

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن قطريه $[AC]$ و $[BD]$ متقايسان. إذن $BD = AC$.

ومنه فإن $BD = 5$cm.

خاصية 2: في المستطيل، تكون جميع الزوايا قائمة.

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن $∠BAD = 90°$.

لدينا $∠BAD = ∠BAC + ∠CAD$.

إذن $∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = 90° - 40°$.

ومنه فإن $\widehat{CAD} = 50°$.

2

المعيّن والتماثل المركزي

$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$.

لتكن $E$ مماثلة $B$ بالنسبة للنقطة $A$ و $F$ مماثلة $C$ بالنسبة للنقطة $A$.

المطلوب: بيّن أن الرباعي $BCEF$ معيّن.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

ترجم معنى "مماثلة بالنسبة لنقطة" إلى خصائص حول منتصفات الأقطار. ثم ترجم "مثلث قائم" إلى خاصية تعامد. ما هو الرباعي الذي قطراه...

📝 خارطة طريق الحل

  1. خاصية التماثل: استنتج أن $A$ هي منتصف القطرين $[BE]$ و $[CF]$. هذا يثبت أن $BCEF$ متوازي أضلاع.
  2. خاصية المثلث القائم: استنتج أن القطرين $[BE]$ و $[CF]$ متعامدان.
  3. الاستنتاج: استخدم الخاصية التي تقول: "متوازي الأضلاع الذي قطراه متعامدان هو معيّن".

✅ الحل المفصل

لدينا الرباعي $BCEF$ وقطراه هما $[BE]$ و $[CF]$.

تحليل المعطيات:
  • $E$ مماثلة $B$ بالنسبة لـ $A$ تعني أن $A$ منتصف $[BE]$.
  • $F$ مماثلة $C$ بالنسبة لـ $A$ تعني أن $A$ منتصف $[CF]$.

بما أن قطري الرباعي $BCEF$ يتقاطعان في منتصفهما $A$, فإنه متوازي أضلاع.

استخدام خاصية المثلث القائم:

لدينا المثلث $ABC$ قائم في $A$. هذا يعني أن المستقيمين $(AB)$ و $(AC)$ متعامدان.

بما أن $B, A, E$ على استقامة واحدة، فإن $(BE)$ هو نفسه $(AB)$.

بما أن $C, A, F$ على استقامة واحدة، فإن $(CF)$ هو نفسه $(AC)$.

إذن، نستنتج أن قطري متوازي الأضلاع، $(BE)$ و $(CF)$, متعامدان.

متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن. إذن $BCEF$ معيّن.

3

المستطيل والدائرة

$[AB]$ و $[CD]$ قطران مختلفان في دائرة $(C)$ مركزها $O$.
المطلوب: بيّن أن الرباعي $ACBD$ مستطيل.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

ماذا يعني أن $[AB]$ و $[CD]$ قطران في دائرة بالنسبة لنقطة المنتصف؟ وبالنسبة لأطوالهما؟

📝 خارطة طريق الحل

لإثبات أن $ACBD$ مستطيل، يكفي إثبات أن قطريه لهما نفس المنتصف ومتقايسان. ترجم معطيات الدائرة إلى هذه الخصائص.

✅ الحل المفصل

لدينا الرباعي $ACBD$ وقطراه هما $[AB]$ و $[CD]$.

خصائص أقطار الدائرة:
  • بما أن $[AB]$ قطر في الدائرة التي مركزها $O$, فإن $O$ منتصف $[AB]$.
  • بما أن $[CD]$ قطر في الدائرة التي مركزها $O$, فإن $O$ منتصف $[CD]$.
  • جميع أقطار نفس الدائرة متقايسة. إذن $AB=CD$.

الرباعي $ACBD$ له قطران يتقاطعان في نفس المنتصف ($O$) ومتقايسان ($AB=CD$). إذن فهو مستطيل.

4

خاصية الانتقال

$ABCD$ مستطيل حيث $AC = 6$cm. لتكن $E$ و $F$ نقطتين بحيث $EDFB$ مستطيل.
المطلوب: احسب $EF$.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

انظر إلى القطر المشترك أو المتساوي بين المستطيلين. استخدم خاصية تساوي قطري المستطيل مرتين.

📝 خارطة طريق الحل

الهدف هو بناء سلسلة من المساواة: $EF = ? = ? = AC$. ابدأ من المستطيل $EDFB$، ثم انتقل إلى المستطيل $ABCD$.

✅ الحل المفصل

الخاصية المستخدمة: قطرا المستطيل متقايسان.
  1. في المستطيل $EDFB$, القطران هما $[EF]$ و $[DB]$. إذن $EF = DB$.
  2. في المستطيل $ABCD$, القطران هما $[AC]$ و $[DB]$. إذن $AC = DB$.

من العلاقتين (1) و (2) نستنتج أن $EF = DB = AC$.

بما أن $AC = 6$cm، فإن $EF = 6$cm.

5

المعيّن وتقاطع الدائرتين

$(C)$ و $(C')$ دائرتان لهما نفس الشعاع، مركزاهما $O$ و $O'$ على التوالي. تتقاطعان في $A$ و $B$.
المطلوب: بيّن أن الرباعي $OAO'B$ معيّن.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

ماذا يعني أن $A$ و $B$ تنتميان للدائرة $(C)$ التي مركزها $O$؟ وماذا يعني أنهما تنتميان للدائرة $(C')$ التي مركزها $O'$؟

📝 خارطة طريق الحل

الهدف هو إثبات أن الأضلاع الأربعة $OA, AO', O'B, BO$ متقايسة. استخدم تعريف الدائرة مرتين، ثم استخدم حقيقة أن الدائرتين لهما نفس الشعاع.

✅ الحل المفصل

تعريف الدائرة: المسافة بين المركز وأي نقطة على الدائرة تساوي الشعاع (نرمز له $r$).
  • بما أن $A, B$ تنتميان للدائرة $(C)$ التي مركزها $O$, فإن $OA = OB = r$.
  • بما أن $A, B$ تنتميان للدائرة $(C')$ التي مركزها $O'$, فإن $O'A = O'B = r$ (لأن الدائرتين لهما نفس الشعاع).

من هاتين النقطتين، نستنتج أن: $OA = OB = O'A = O'B = r$.

بما أن جميع أضلاع الرباعي $OAO'B$ متقايسة, فإنه معيّن.