تمرين تفاعلي: من المستطيل إلى المعين

6
البرهان المنطقي في الهندسة

في الرسم الموالي $EFH$ مثلث قائم الزاوية في $H$ حيث $EF = 5\text{cm}$ و $I$ مركز الدائرة المحيطة به.

  1. أ. ابنِ النقطة $G$ بحيث $EFGH$ متوازي أضلاع. ب. استنتج طول $GH$.
  2. أ. ما هي طبيعة المثلث $HIF$؟ علّل جوابك. ب. ليكن $[IK]$ ارتفاع المثلث $HIF$. بيّن أن النقاط $E$, $K$, $G$ على استقامة واحدة.
  3. المستقيم $(IK)$ يقطع $(HG)$ في النقطة $L$.
    • أ. بيّن أن $EHLI$ متوازي أضلاع.
    • ب. استنتج أن $FIHL$ معين.
لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للتفكير

المعلومة الأولى والأكثر أهمية، التي ليست مذكورة صراحة في الأسئلة، هي طبيعة الرباعي $EFGH$. ما هو متوازي الأضلاع الذي به زاوية قائمة؟

بالنسبة للسؤال الأخير، فكّر في أسهل طريقة لإثبات أن رباعياً ما هو معين: أثبت أنه متوازي أضلاع، ثم أثبت أن له ضلعين متتاليين متقايسين.

📝 خريطة الطريق (الطريقة)

  1. تحديد طبيعة $EFGH$: ابدأ بتحديد الطبيعة الحقيقية لمتوازي الأضلاع $EFGH$. هذا سيعطيك خصائص قوية (توازي وتقايس الأقطار).
  2. استقامة النقاط: لإثبات أن $E, K, G$ على استقامة، أثبت أن $K$ هي نقطة تقاطع قطري المستطيل $EFGH$. للقيام بذلك، أثبت أن $K$ هي منتصف أحد القطرين.
  3. إثبات $EHLI$ متوازي أضلاع: استخدم خاصية "كل ضلعين متقابلين متوازيان". ستحتاج إلى إثبات أن $(IL) \parallel (HE)$ و $(EI) \parallel (HL)$. فكر في علاقات العمودية والتوازي.
  4. إثبات $FIHL$ معين (الجزء الصعب):
    • الخطوة 1: أثبت أن $FIHL$ متوازي أضلاع بإثبات أن أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى: استعمل أن $(IK)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[HF]$ (يعطي $IH = IF$ و $LH = LF$)، ومتوازي الأضلاع $EHLI$ (يعطي $HL = EI = IF$).
    • الخطوة 2: بمجرد إثبات أنه متوازي أضلاع، أثبت أن له ضلعين متتاليين متقايسين (مثل $IF=IH$).

✅ الحل الكامل والمفصل

ملاحظة أولية هامة: لدينا $EFGH$ متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة ($\angle FHE=90^\circ$). إذن $EFGH$ هو مستطيل. هذه الخاصية أساسية لكل ما سيأتي.
1. ب. استنتاج طول $GH$
  • بما أن $EFGH$ مستطيل، فإن أضلاعه المتقابلة متقايسة.
  • إذن $GH = EF$. وبما أن $EF=5\text{cm}$، فإن $GH = 5 \text{ cm}$.
2. أ. طبيعة المثلث $HIF$
خاصية: مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف وتره.
  • $I$ هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $EFH$ القائم في $H$. إذن $I$ هي منتصف الوتر $[EF]$.
  • في أي دائرة، المسافة من المركز إلى أي نقطة على المحيط هي شعاع. إذن $IH = IF = IE$ (كلها شعاعات الدائرة).
  • بما أن $IH=IF$، فإن المثلث $HIF$ متقايس الضلعين في $I$.
2. ب. إثبات أن $E, K, G$ على استقامة واحدة
  • لدينا المثلث $HIF$ متقايس الضلعين في $I$ و $[IK]$ هو الارتفاع الصادر من $I$.
  • خاصية المثلث متقايس الضلعين: الارتفاع الصادر من قمة الرأس الرئيسي هو أيضا متوسط ومحور ومنصف زاوية.
  • إذن $[IK]$ هو أيضا متوسط، ويمر من منتصف القاعدة $[HF]$. أي أن $K$ هي منتصف $[HF]$.
  • في المستطيل $EFGH$، يتقاطع القطران $[EG]$ و $[FH]$ في منتصفهما.
  • بما أن $K$ هي منتصف القطر $[FH]$، فإن $K$ هي نقطة تقاطع القطرين، وبالتالي تنتمي للقطر الآخر $[EG]$.
  • إذن، النقاط $E$ و $K$ و $G$ على استقامة واحدة.
3. أ. إثبات أن $EHLI$ متوازي أضلاع
  • توازي $(IL)$ و $(HE)$:
    • لدينا $(HE) \perp (HG)$ (لأن $EFGH$ مستطيل).
    • ولدينا $(IK) \perp (HF)$ (لأن $[IK]$ ارتفاع). وبما أن $(HF) \parallel (EG)$ و K نقطة تقاطعهما، و $L$ على (IK)، فإن $(IL)$ يوازي (HE). طريقة أبسط: $(IK)$ يمر بمنتصف $[HF]$ و $(HE)$ يمر بمنتصف $[FG]$، إذن (IK)||(HE) (نظرية المستقيمين المارين بمنتصفي ضلعين في مثلث)
    • بما أن $L$ على $(IK)$، فإن $(IL) \parallel (HE)$.
  • توازي $(EI)$ و $(HL)$:
    • لدينا $(EF) \parallel (HG)$ (لأن $EFGH$ مستطيل).
    • بما أن $I \in (EF)$ و $L \in (HG)$، فإن $(EI) \parallel (HL)$.

بما أن كل ضلعين متقابلين في الرباعي $EHLI$ متوازيان، فإنه متوازي أضلاع.

3. ب. استنتاج أن $FIHL$ معين (مع تصحيح البرهان)
⚠️ نقطة انتباه: لا يمكننا استنتاج أن $FIHL$ معين مباشرة. يجب أولاً أن نثبت أنه متوازي أضلاع، ثم نستخدم خاصية إضافية.
  • الخطوة 1: إثبات أن $FIHL$ متوازي أضلاع.
    الخاصية المعتمدة: رباعي أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى هو متوازي أضلاع.
    • لدينا $(IK) \perp (HF)$ (لأن $[IK]$ ارتفاع) و $K$ منتصف $[HF]$، إذن المستقيم $(IK)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[HF]$.
    • كل نقطة من الموسط العمودي متساوية البعد عن طرفي القطعة. وبما أن $I$ و $L$ تنتميان إلى $(IK)$، فإن: $IH = IF$ و $LH = LF$.
    • من متوازي الأضلاع $EHLI$ (السؤال 3.أ): $HL = EI$. وبما أن $I$ منتصف $[EF]$ فإن $EI = IF$، ومنه $HL = IF$.
    • نجمع النتائج: $FI = IH = HL = LF$.
    • إذن في الرباعي $FIHL$: $FI = HL$ و $IH = LF$، أي أن أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى.
    • إذن $FIHL$ متوازي أضلاع.
  • الخطوة 2: إثبات أن له ضلعان متتاليان متقايسان.
    • من السؤال (2.أ)، أثبتنا أن المثلث $HIF$ متقايس الضلعين في $I$.
    • إذن، $IF = IH$.
خاصية: متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.

إذن، $FIHL$ هو معين.