تمرين تفاعلي في خصائص الرباعيات

5
متوازي أضلاع، معين ومثلث قائم
  1. ابنِ مثلثًا $ABC$ متقايس الضلعين في $A$ حيث $AB = 6 \text{ cm}$ و $\angle B\hat{A}C = 50^\circ$.
  2. ابنِ النقطة $D$ بحيث يكون الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع.
  3. أحسب قياس الزاويتين $\angle ADC$ و $\angle BCD$.
  4. المستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع $(CD)$ في النقطة $E$.
    • أ. بيّن أن الرباعي $ABEC$ معين.
    • ب. استنتج أن $C$ منتصف القطعة $[ED]$.
    • ج. بيّن أن المثلث $ADE$ قائم الزاوية.
لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للتفكير

المفتاح هو عدم الخلط بين الأشكال المختلفة. تعامل مع كل رباعي ($ABCD$ و $ABEC$) على حدة واستخرج خصائصه. الحل يأتي من ربط معلومة من شكل بآخر.

مثلاً، ماذا يخبرك كون $ABCD$ متوازي أضلاع عن الضلع $AB$؟ وماذا يخبرك كون $ABEC$ معين عن الضلع $CE$؟ هل ترى الرابط؟

📝 خريطة الطريق (الطريقة)

  1. حساب الزوايا: ابدأ بحساب زوايا القاعدة في المثلث المتقايس الضلعين $ABC$. ثم استخدم خصائص متوازي الأضلاع $ABCD$ لإيجاد $\angle ADC$ و $\angle BCD$.
  2. إثبات المعين: لإثبات أن $ABEC$ معين، أثبت أولاً أنه متوازي أضلاع، ثم أثبت أن له ضلعين متتاليين متقايسين.
  3. إثبات المنتصف: لإثبات أن $C$ هي منتصف $[ED]$، يكفي أن تبرهن أن $DC = CE$ باستخدام خصائص الأشكال التي أثبتها سابقًا.
  4. إثبات المثلث القائم: الهدف هو حساب قياس الزاوية $\angle E\hat{A}D$. قم بتقسيمها إلى جزأين: $\angle E\hat{A}C$ و $\angle C\hat{A}D$. احسب كل جزء على حدة باستخدام خصائص المعين والمثلث المتقايس الضلعين ثم اجمع النتيجتين.

✅ الحل الكامل والمفصل

3. حساب الزاويتين $\angle ADC$ و $\angle BCD$
  • لدينا المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$ وزاوية الرأس $\angle B\hat{A}C = 50^\circ$.
    خاصية المثلث متقايس الضلعين: زوايا القاعدة متقايسة.
    $\angle A\hat{B}C = \angle A\hat{C}B = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 65^\circ$
  • لدينا $ABCD$ متوازي أضلاع.
    خصائص متوازي الأضلاع: كل زاويتين متقابلتين متقايستان، وكل زاويتين متتاليتين متكاملتان (مجموعهما $180^\circ$).
    • $\angle ADC$ تقابل $\angle ABC$. إذن $\angle ADC = \angle ABC = 65^\circ$. $\angle ADC = 65^\circ$.
    • $\angle BCD$ تلي $\angle ABC$. إذن $\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$. $\angle BCD = 115^\circ$.
4. أ. إثبات أن الرباعي $ABEC$ معين
  • لدينا $(BE) \parallel (AC)$ (معطى) و $(AB) \parallel (EC)$ (لأن $E \in (CD)$ و $(AB) \parallel (CD)$). إذن $ABEC$ متوازي أضلاع.
  • في متوازي الأضلاع هذا، لدينا ضلعان متتاليان متقايسان: $AB = AC = 6 \text{ cm}$ (معطى).
خاصية: متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.

إذن، الرباعي $ABEC$ معين.

4. ب. استنتاج أن $C$ منتصف $[ED]$
  • بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن $DC = AB = 6 \text{ cm}$.
  • بما أن $ABEC$ معين، فإن جميع أضلاعه متقايسة، ومنه $CE = AB = 6 \text{ cm}$.
  • من العلاقتين نستنتج أن $DC = CE = 6 \text{ cm}$. وبما أن النقاط $E, C, D$ على استقامة واحدة، فإن $C$ هي منتصف $[ED]$.
4. ج. إثبات أن المثلث $ADE$ قائم

سنثبت ذلك بحساب قياس الزاوية $\angle E\hat{A}D$. للقيام بذلك، نحسب قياس كل من $\angle E\hat{A}C$ و $\angle C\hat{A}D$.

  • حساب $\angle E\hat{A}C$:
    خاصية المعين: أقطار المعين هي منصفات لزواياه.

    في المعين $ABEC$، القطر $[AE]$ هو منصف للزاوية $\angle B\hat{A}C$.

    $\angle E\hat{A}C = \frac{\angle B\hat{A}C}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$
  • حساب $\angle C\hat{A}D$:

    في المثلث $ACD$، لدينا $AC = 6 \text{ cm}$ (معطى) و $CD = AB = 6 \text{ cm}$. إذن المثلث $ACD$ متقايس الضلعين في $C$.

    زاوية الرأس هي $\angle A\hat{C}D$. نحسبها: $\angle A\hat{C}D = \angle B\hat{C}D - \angle B\hat{C}A = 115^\circ - 65^\circ = 50^\circ$.

    خاصية المثلث متقايس الضلعين: زاويتا القاعدة متقايستان.
    $\angle C\hat{A}D = \angle C\hat{D}A = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 65^\circ$
  • الاستنتاج النهائي:

    الآن نجمع الزاويتين:

    $\angle E\hat{A}D = \angle E\hat{A}C + \angle C\hat{A}D = 25^\circ + 65^\circ = 90^\circ$

بما أن قياس الزاوية $\angle E\hat{A}D$ هو $90^\circ$، فإن المثلث $ADE$ قائم في $A$.