سلسلة تمارين الهندسة التفاعلية

2الموسط العمودي والدائرة

ارسم قطعة مستقيم [IJ] طولها 6cm وابنِ (A) موّسطها العمودي. الدائرة التي مركزها I وشعاعها 4cm تقطع (A) في K و L.

المطلوب: ما هي طبيعة الرباعي ILJK؟ علل جوابك.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للتفكير

هناك معلومتان أساسيتان في النص: الموسط العمودي والدائرة. كل واحدة منهما تعطيك علاقة تساوي بين الأضلاع. حاول أن تستخرج علاقة من كل معلومة.

📝 خريطة الطريق

  1. استخدم خاصية الموسط العمودي للنقطتين K و L لإيجاد علاقات تساوي بين الأضلاع.
  2. استخدم خاصية الدائرة للنقطتين K و L لإيجاد أطوال بعض الأضلاع.
  3. اجمع كل المعلومات لتحديد أطوال الأضلاع الأربعة للرباعي واستنتج طبيعته.

✅ الحل الكامل والمفصل

الاستنتاج الرئيسي: لإثبات أن رباعيًا هو معين، أسهل طريقة هي إثبات أن أضلاعه الأربعة متقايسة.
  • من الموسط العمودي (A): بما أن K و L تنتميان لـ (A)، فإنهما متساويا البعد عن I و J. إذن: KJ = KI و LJ = LI.
  • من الدائرة (C): بما أن K و L تنتميان للدائرة التي مركزها I وشعاعها 4cm، فإن: KI = 4cm و LI = 4cm.
  • تجميع النتائج: من النقطتين السابقتين، لدينا السلسلة: $LJ = LI = 4cm$ و $KJ = KI = 4cm$. إذن، كل الأضلاع الأربعة تساوي 4cm.

بما أن $IL = LJ = JK = KI = 4\text{cm}$، فإن الرباعي ILJK معين.

5خاصية المتوسط في المثلث القائم

ABC مثلث متقايس الضلعين في A حيث AB=6cm و BÂC=50°. عين D بحيث ABCD متوازي أضلاع. المستقيم المار من B والموازي لـ (AC) يقطع (CD) في E.

المطلوب: أ. بيّن أن ABEC معين. ب. استنتج أن C منتصف [ED]. ج. بيّن أن المثلث ADE قائم.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للتفكير

الجزء الأخير (ج) هو الأصعب. هناك طريقتان: حساب الزوايا، أو استخدام خاصية المتوسط المتعلق بالوتر في المثلث القائم. فكّر في طول الضلع [DE] وقارنه بطول المتوسط [AC].

📝 خريطة الطريق

  1. إثبات المعين: أثبت أن ABEC متوازي أضلاع أولاً، ثم استخدم حقيقة أن AB=AC لإثبات أنه معين.
  2. إثبات المنتصف: أثبت أن DC=AB و CE=AB. بما أن كلاهما يساوي AB، فهما متساويان.
  3. إثبات المثلث القائم:
    • بيّن أن [AC] هو متوسط في المثلث ADE.
    • احسب طول [DE].
    • تحقق مما إذا كان طول المتوسط [AC] يساوي نصف طول الضلع [DE]. إذا كان كذلك، فالمثلث قائم في A.

✅ الحل الكامل والمفصل

  • أ. ABEC معين:
    • لدينا $(BE) \parallel (AC)$ و $(AB) \parallel (EC)$, إذن $ABEC$ متوازي أضلاع.
    • بما أن $AB=AC=6\text{cm}$, فإن متوازي الأضلاع هذا له ضلعان متتاليان متقايسان، إذن هو معين.
  • ب. C منتصف [ED]:
    • لدينا $DC=AB=6\text{cm}$ (من متوازي الأضلاع ABCD).
    • لدينا $CE=AB=6\text{cm}$ (من المعين ABEC).
    • إذن $DC=CE=6\text{cm}$ والنقاط على استقامة، إذن C منتصف [ED].
  • ج. المثلث ADE قائم في A:
    النظرية العكسية للمتوسط: إذا كان طول المتوسط الصادر من رأس في مثلث يساوي نصف طول الضلع المقابل، فإن هذا المثلث قائم في ذلك الرأس.
    • في المثلث ADE، [AC] هو متوسط لأنه يربط الرأس A بمنتصف الضلع المقابل C (الذي هو منتصف [DE]).
    • طول المتوسط [AC] هو 6cm.
    • طول الضلع [DE] هو $DC+CE = 6+6=12\text{cm}$.
    • نلاحظ أن $AC = 6\text{cm}$ و $DE/2 = 12/2 = 6\text{cm}$. إذن $AC=DE/2$.

    بما أن الخاصية متحققة، فإن المثلث ADE قائم في A.