سلسلة تمارين تفاعلية في الهندسة

مجموعة من التمارين المختارة لكشف أسرار الرباعيات والمثلثات

1

المعيّن المتخفي

ارسم قطعة مستقيم $[IJ]$ طولها 6cm وابنِ $(\Delta)$ موّسطها العمودي. الدائرة التي مركزها $I$ وشعاعها 4cm تقطع $(\Delta)$ في $K$ و $L$.

المطلوب: ما هي طبيعة الرباعي $ILJK$؟ علل جوابك.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

استخدم تعريف كل عنصر على حدة: ماذا يعني أن $K$ و $L$ تنتميان للموّسط العمودي؟ وماذا يعني أنهما تنتميان للدائرة؟ اجمع الخاصيتين.

📝 خارطة طريق الحل

الهدف هو إثبات أن كل أضلاع الرباعي $ILJK$ متقايسة. للقيام بذلك: 1. استخدم خاصية الموسط العمودي لتجد علاقة بين $KI$ و $KJ$ وكذلك بين $LI$ و $LJ$. 2. استخدم خاصية الدائرة لتحديد أطوال $KI$ و $LI$. 3. اجمع كل المعلومات لتحديد أطوال الأضلاع الأربعة.

✅ الحل المفصل

خاصية الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي للموسط العمودي لقطعة تكون متساوية البعد عن طرفيها.
  • بما أن $K \in (\Delta)$، فإن $KJ = KI$.
  • بما أن $L \in (\Delta)$، فإن $LJ = LI$.
خاصية الدائرة: كل النقاط على دائرة تكون متساوية البعد عن مركزها (الشعاع).
  • بما أن $K$ و $L$ تنتميان للدائرة التي مركزها $I$ وشعاعها 4cm، فإن $KI = 4$cm و $LI = 4$cm.
تجميع النتائج:
  • $KI = 4$cm.
  • $LI = 4$cm.
  • $KJ = KI = 4$cm.
  • $LJ = LI = 4$cm.

بما أن كل أضلاع الرباعي $ILJK$ متقايسة وطول كل منها 4cm، فإنه معيّن.

2

شلال الخصائص الهندسية

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين في $A$ حيث $AB = 6$ cm و $B\hat{A}C = 50°$. عيّن النقطة $D$ بحيث يكون $ABCD$ متوازي أضلاع. المستقيم المار من $B$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع $(CD)$ في $E$.

  1. بيّن أن $ABEC$ معيّن.
  2. استنتج أن $C$ منتصف $[ED]$.
  3. بيّن أن المثلث $ADE$ قائم.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

للسؤال الأول، أثبت أولاً أن $ABEC$ متوازي أضلاع ثم ابحث عن ضلعين متتاليين متقايسين. للسؤال الأخير، فكر في الخاصية العكسية للمتوسط المتعلق بالوتر في المثلث القائم.

📝 خارطة طريق الحل

  1. إثبات المعيّن: أثبت توازي الأضلاع المتقابلة لـ $ABEC$ ثم استخدم حقيقة أن $AB=AC$.
  2. إثبات المنتصف: احسب طولي $DC$ (من متوازي الأضلاع $ABCD$) و $CE$ (من المعين $ABEC$).
  3. إثبات المثلث القائم: بيّن أن $[AC]$ هو متوسط في المثلث $ADE$ وقارن طوله بطول الضلع المقابل $[DE]$.

✅ الحل المفصل

أ. إثبات أن $ABEC$ معيّن
  • لدينا $(BE) \parallel (AC)$ (معطى).
  • لدينا $ABCD$ متوازي أضلاع، إذن $(AB) \parallel (DC)$. وبما أن $E$ تنتمي لـ $(DC)$, فإن $(AB) \parallel (EC)$.
  • الرباعي $ABEC$ له كل ضلعين متقابلين متوازيين، فهو متوازي أضلاع.
  • بما أن المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$, فإن $AB = AC = 6$ cm. وهما ضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع $ABEC$.

متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معيّن.

ب. استنتاج أن $C$ منتصف $[ED]$
  • بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن $DC = AB = 6$ cm.
  • بما أن $ABEC$ معيّن، فإن $CE = AB = 6$ cm.
  • إذن $DC = CE = 6$ cm. وبما أن النقاط $D, C, E$ على استقامة واحدة, فإن $C$ هي منتصف $[ED]$.
ج. إثبات أن المثلث $ADE$ قائم
الخاصية العكسية للمتوسط: إذا كان طول المتوسط الصادر من رأس في مثلث يساوي نصف طول الضلع المقابل له، فإن هذا المثلث قائم في ذلك الرأس.
  • في المثلث $ADE$, القطعة $[AC]$ هي متوسط لأنه يربط الرأس $A$ بمنتصف الضلع المقابل $C$.
  • طول المتوسط $[AC] = 6$ cm.
  • طول الضلع المقابل $[DE] = DC + CE = 6 + 6 = 12$ cm.
  • نلاحظ أن $AC = \frac{1}{2} DE$.

إذن، حسب الخاصية العكسية، فإن المثلث $ADE$ قائم في $A$.

3

لغز استقامة النقاط

$EFH$ مثلث قائم في $H$ حيث $EF = 5$cm. $I$ مركز الدائرة المحيطة به. عيّن $G$ بحيث $EFGH$ متوازي أضلاع. ليكن $[IK]$ ارتفاع المثلث $HIF$.

المطلوب: بيّن أن النقاط $E, K, G$ على استقامة واحدة.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

لإثبات أن ثلاث نقاط على استقامة واحدة، يكفي أن نثبت أنها تنتمي لنفس المستقيم المميز (قطر، محور، ...). ما هي طبيعة المثلث $HIF$؟ وماذا يمثل الارتفاع $[IK]$ في هذا النوع من المثلثات؟

📝 خارطة طريق الحل

  1. حدد موقع النقطة $I$ بدقة (مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم).
  2. استنتج طبيعة المثلث $HIF$.
  3. استنتج طبيعة المستقيم $(IK)$ في هذا المثلث (ليس مجرد ارتفاع).
  4. حدد طبيعة الرباعي $EFGH$.
  5. استخدم خصائص أقطار $EFGH$ لتصل إلى الاستنتاج.

✅ الحل المفصل

1. تحليل المعطيات الأولية
  • $EFGH$ متوازي أضلاع وله زاوية قائمة $∠FHE=90°$. إذن $EFGH$ مستطيل.
  • $I$ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم $EFH$. إذن $I$ منتصف الوتر $[EF]$.
2. طبيعة المثلث $HIF$
  • بما أن $I$ منتصف $[EF]$, فإن $IH = IF = IE$ (كلها تساوي شعاع الدائرة).
  • في المثلث $HIF$, لدينا $IH=IF$. إذن المثلث $HIF$ متقايس الضلعين في $I$.
3. طبيعة المستقيم $(IK)$
خاصية: في مثلث متقايس الضلعين، الارتفاع الصادر من الرأس الرئيسي هو أيضا متوسط ومحور ومنصف زاوية.
  • لدينا $[IK]$ ارتفاع في المثلث $HIF$ المتقايس الضلعين في $I$.
  • إذن $(IK)$ هو أيضا متوسط. وهذا يعني أن $K$ هي منتصف القاعدة $[HF]$.
4. الاستنتاج النهائي
  • في المستطيل $EFGH$, يتقاطع القطران $[EG]$ و $[FH]$ في منتصفهما.
  • بما أن $K$ هي منتصف $[FH]$, فإن نقطة تقاطع القطرين هي $K$.
  • هذا يعني أن القطر الثاني $[EG]$ يمر حتما بالنقطة $K$.

بما أن $K$ تنتمي للقطر $[EG]$, فإن النقاط $E, K, G$ على استقامة واحدة.