إصلاح سلسلة تمارين حول رباعيات الأضلاع

1

التمرين رقم 1

EFGH مستطيل حيث 8cm = EG و 3cm = FH. يتقاطع قطراه [EG] و [FH] في النقطة O. لتكن A المسقط العمودي لـ O على (EF) و B المسقط العمودي لـ O على (EH).

المطلوب: بيّن أن الرباعي OAEB مستطيل واستنتج طول [AB].

الخطوة 1: تحديد طبيعة الرباعي OAEB

بما أن A هي المسقط العمودي لـ O على (EF)، فإن الزاوية OÂE قائمة (90°).
بما أن B هي المسقط العمودي لـ O على (EH)، فإن الزاوية OB̂E قائمة (90°).
بما أن EFGH مستطيل، فإن جميع زواياه قائمة، إذن الزاوية FÊH قائمة (90°).

خاصية: إذا كان لرباعي ثلاث زوايا قائمة، فإنه مستطيل.

الرباعي OAEB له ثلاث زوايا قائمة (في A، وB، وE)، إذن OAEB مستطيل.

الخطوة 2: استنتاج طول [AB]

خاصية: في المستطيل، يكون القطران متقايسين.

في المستطيل OAEB الذي أثبتناه للتو، القطران هما [AB] و [OE].
إذن، لدينا المساواة: AB = OE.
نحتاج الآن إلى حساب طول OE.
- نعلم أن EFGH مستطيل و O هي نقطة تقاطع قطريه.
- خاصية: قطرا المستطيل يتقاطعان في منتصفهما.
- إذن O هي منتصف القطر [EG].
- ومنه فإن OE = EG / 2.
- حسب المعطيات، EG = 8 cm.
- إذن OE = 8 / 2 = 4 cm.
بما أن AB = OE، نستنتج أن AB = 4 cm.

2

تمرين عدد 2

ارسم قطعة مستقيم [IJ] طولها 6cm وابنِ (A) موّسطها العمودي. الدائرة التي مركزها I وشعاعها 4cm تقطع (A) في K و L.

المطلوب: ما هي طبيعة الرباعي ILJK؟ علل جوابك.

الحل المفصل للتمرين 2

الخطوة 1: تحليل المعطيات

(A) هو الموسط العمودي للقطعة [IJ].
النقطتان K و L تنتميان للمستقيم (A).
النقطتان K و L تنتميان للدائرة التي مركزها I وشعاعها 4cm.

الخطوة 2: تطبيق خصائص الموسط العمودي

خاصية: كل نقطة تنتمي للموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.

بما أن K تنتمي لـ (A)، فإنها متساوية البعد عن I و J. إذن KJ = KI.
بما أن L تنتمي لـ (A)، فإنها متساوية البعد عن I و J. إذن LJ = LI.

الخطوة 3: تطبيق خصائص الدائرة

خاصية: كل النقاط على دائرة تكون متساوية البعد عن مركزها (الشعاع).

بما أن K و L تنتميان للدائرة التي مركزها I وشعاعها 4cm، فإن KI = 4cm و LI = 4cm.

الخطوة 4: تجميع النتائج والاستنتاج

من الخطوتين 2 و 3، لدينا:
- KJ = KI و KI = 4cm => KJ = 4cm.
- LJ = LI و LI = 4cm => LJ = 4cm.
إذن، أصبحت أطوال أضلاع الرباعي كلها معروفة: IL = 4cm, LJ = 4cm, JK = 4cm, KI = 4cm.

بما أن جميع أضلاع الرباعي متقايسة، فإن الرباعي ILJK معين.

3

تمرين عدد 3

ابنِ معيّنًا ABCD في كل حالة:

AB = 2 cm و BÂD = 120°
AC = 3 cm وقيس محيطه 16 cm

الحل المفصل للتمرين 3

الحالة 1: AB = 2 cm و BÂD = 120°

خاصية المعين: أضلاعه الأربعة متقايسة.

نرسم قطعة مستقيم [AB] طولها 2 cm.
باستخدام المنقلة، نرسم زاوية رأسها A وقياسها 120°.
على الضلع الثاني للزاوية، نعين النقطة D بحيث يكون AD = 2 cm.
لإيجاد النقطة C، نفتح الفرجار بفتحة 2 cm، نضع رأسه على B ونرسم قوسًا، ثم نضع رأسه على D ونرسم قوسًا آخر. نقطة تقاطع القوسين هي C.
نصل بين النقاط A, B, C, D للحصول على المعين المطلوب.

الحالة 2: AC = 3 cm ومحيطه 16 cm

قانون محيط المعين: المحيط = 4 × طول الضلع.

نحسب طول الضلع: طول الضلع = المحيط / 4 = 16 / 4 = 4 cm. إذن AB = BC = CD = DA = 4 cm.
نرسم القطر [AC] بطول 3 cm.
المثلثان ABC و ADC متقايسا الساقين.
لإيجاد النقطتين B و D، نفتح الفرجار بفتحة 4 cm.
نضع رأس الفرجار على A ونرسم قوسًا كبيرًا.
نضع رأس الفرجار على C ونرسم قوسًا آخر يقطع القوس الأول في نقطتين. هاتان النقطتان هما B و D.
نصل بين النقاط للحصول على المعين ABCD.

4

التمرين رقم 4

ارسم شبه منحرف ABCD قائم في A و D حيث AB = AD = 2 cm و CD = 4 cm. ثم ارسم النقطة H المسقط العمودي لـ B على (CD).

بيّن أن الرباعي ABHD مربع.
أ. أحسب HC ثم HÊC.
ب. استنتج أن المثلث DBC قائم.
عيّن النقطة F بحيث تكون H منتصف [BF].
أ. بيّن أن B و F متناظرتان بالنسبة الى (CD).
ب. بيّن أن الرباعي BCFD مربع.

1. إثبات أن الرباعي ABHD مربع

تحليل المعطيات:
- شبه منحرف قائم في A و D يعني (AB) || (DC) و (AD) ⊥ (DC).
- H المسقط العمودي لـ B على (CD) يعني (BH) ⊥ (CD).
البرهان:
- بما أن (AD) ⊥ (DC) و (BH) ⊥ (DC)، فإن (AD) || (BH).
- لدينا (AB) || (DC)، أي (AB) || (DH).
- الرباعي ABHD له كل ضلعين متقابلين متوازيين، إذن هو متوازي أضلاع.
- هذا المتوازي أضلاع له زاوية قائمة (مثلاً الزاوية D = 90°)، إذن هو مستطيل.
- هذا المستطيل له ضلعان متتاليان متقايسان (AB = AD = 2 cm)، إذن هو مربع.
النتيجة: الرباعي ABHD مربع.

2. أ. حساب HC و HÊC

حساب HC:
- بما أن ABHD مربع، فإن DH = AB = 2 cm.
- لدينا DC = DH + HC. بالتعويض: 4 = 2 + HC.
- إذن HC = 2 cm.
حساب HÊC:
- المثلث HBC قائم في H.
- بما أن ABHD مربع، فإن BH = AD = 2 cm.
- وجدنا أن HC = 2 cm. إذن المثلث HBC قائم ومتقايس الضلعين في H.
- خاصية: في المثلث القائم ومتقايس الضلعين، تكون زاويتا القاعدة متقايستين وقياس كل منهما 45°.
- إذن HÊC = 45°.

2. ب. استنتاج أن المثلث DBC قائم

في المربع ABHD، القطر [BD] يشكل زاوية 45° مع الأضلاع.
الزاوية BĈD هي نفسها الزاوية HĈB والتي تساوي 45° (من السؤال السابق).
في المثلث DBC، مجموع الزوايا يساوي 180°.
∠DBC = 180° - (45° + 45°) = 90°

بما أن الزاوية DBC تساوي 90°، فإن المثلث DBC قائم في B.

3. أ. إثبات أن B و F متناظرتان بالنسبة الى (CD)

تعريف التناظر المحوري: تكون F مناظرة B بالنسبة للمستقيم (CD) إذا كان (CD) هو الموسط العمودي للقطعة [BF].
التحقق من التعامد:
- لدينا (BH) ⊥ (CD).
- بما أن F تنتمي للمستقيم (BH) (لأن H منتصف [BF])، فإن المستقيم (BF) هو نفسه المستقيم (BH).
- إذن (BF) ⊥ (CD).
التحقق من المنتصف:
- نقطة تقاطع (BF) و (CD) هي النقطة H.
- حسب معطيات السؤال، H هي منتصف [BF].

بما أن (CD) عمودي على [BF] في منتصفه H، فإن (CD) هو الموسط العمودي لـ [BF]. إذن B و F متناظرتان بالنسبة للمستقيم (CD).

3. ب. إثبات أن الرباعي BCFD مربع

البرهان باستخدام خصائص الأقطار:
خاصية: يكون الرباعي مربعًا إذا كان قطراه متقايسين، متعامدين، وينصف كل منهما الآخر.
تحليل قطري الرباعي BCFD وهما [CD] و [BF]:
- ينصف كل منهما الآخر: يتقاطعان في H. أثبتنا أن H منتصف [BF] (معطى). وأثبتنا أن DH = 2 cm و HC = 2 cm، إذن H منتصف [CD]. ✅
- متعامدان: أثبتنا أن (BF) ⊥ (CD). ✅
- متقايسان: نحسب طوليهما.
  - طول CD = 4 cm (معطى).
  - طول BF = BH + HF. لدينا BH = 2 cm (ضلع المربع ABHD). وبما أن H منتصف [BF] فإن HF = BH = 2 cm. إذن BF = 2 + 2 = 4 cm. ✅

بما أن قطري الرباعي BCFD متقايسان، متعامدان، وينصف كل منهما الآخر، فإن BCFD مربع.

5

تمرين عدد 5

ABC مثلث متقايس الضلعين في A حيث AB = 6 cm و BÂC = 50°. عين النقطة D بحيث يكون ABCD متوازي أضلاع. المستقيم المار من B والموازي لـ (AC) يقطع (CD) في E.

المطلوب: أ. بيّن أن ABEC معين. ب. استنتج أن C منتصف [ED]. ج. بيّن أن المثلث ADE مثلث قائم.

الحل المفصل للتمرين 5

أ. بيّن أن الرباعي ABEC معين

أولاً: نثبت أنه متوازي أضلاع.
- لدينا (BE) || (AC) (حسب المعطيات).
- لدينا ABCD متوازي أضلاع، إذن (AB) || (DC). بما أن E نقطة من المستقيم (DC)، فإن (AB) || (EC).
- الرباعي ABEC له كل ضلعين متقابلين متوازيين، إذن هو متوازي أضلاع.
ثانياً: نثبت أنه معين.
خاصية: متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
- لدينا ABEC متوازي أضلاع.
- لدينا AB = 6 cm و AC = 6 cm (لأن المثلث ABC متقايس الضلعين في A). وهما ضلعان متتاليان في ABEC.
إذن، نستنتج أن ABEC معين.

ب. استنتج أن C منتصف [ED]

بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن DC = AB = 6 cm.
بما أن ABEC معين، فإن CE = AB = 6 cm.
لدينا DC = 6 cm و CE = 6 cm. والنقاط D و C و E على استقامة واحدة.
إذن C هي منتصف القطعة [ED].

ج. بيّن أن المثلث ADE مثلث قائم

سوف نستخدم خاصية المتوسط المتعلق بالوتر في المثلث القائم بشكل عكسي: إذا كان طول المتوسط الصادر من رأس في مثلث يساوي نصف طول الضلع المقابل، فإن هذا المثلث قائم في ذلك الرأس.

في المثلث ADE، [AC] هو متوسط صادر من الرأس A لأنه يصل الرأس A بمنتصف الضلع المقابل [DE].
طول المتوسط [AC] = 6 cm.
طول الضلع المقابل [DE] = DC + CE = 6 + 6 = 12 cm.
نلاحظ أن طول المتوسط AC (6 cm) يساوي نصف طول الضلع المقابل DE (12 cm).

إذن، حسب الخاصية العكسية للمتوسط، فإن المثلث ADE قائم الزاوية في A.

6

تمرين عدد 6

في الرسم المقابل EFH مثلث قائم الزاوية في H حيث EF = 5cm و I مركز الدائرة المحيطة به. عين النقطة G بحيث EFGH متوازي أضلاع. وليكن [IK] ارتفاع المثلث HIF. المستقيم (IK) يقطع (HG) في L.

المطلوب: أ. ما هي طبيعة المثلث HIF؟ ب. بيّن أن E و K و G على استقامة واحدة. ج. بيّن أن EHLI متوازي أضلاع. د. استنتج أن FIHL معين.

الحل المفصل للتمرين 6

ملاحظة أولية: لدينا EFGH متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة (FHE=90°). إذن EFGH مستطيل.

أ. طبيعة المثلث HIF

خاصية: مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف وتره.

بما أن I مركز الدائرة المحيطة بالمثلث EFH القائم في H، فإن I هي منتصف الوتر [EF].
المسافة من المركز إلى أي رأس من رؤوس المثلث متساوية (نصف القطر). إذن IH = IF = IE = EF/2 = 2.5 cm.
في المثلث HIF، لدينا ضلعان متقايسان IH = IF.

إذن، المثلث HIF متقايس الضلعين في I.

ب. بيّن أن E و K و G على استقامة واحدة

لدينا [IK] ارتفاع في المثلث HIF المتقايس الضلعين في I.
خاصية: في المثلث متقايس الضلعين، الارتفاع الصادر من قمة الرأس الرئيسي هو أيضا متوسط ومحور ومنصف زاوية.
إذن [IK] هو أيضا متوسط، ويمر من منتصف القاعدة [HF]. أي أن K هي منتصف [HF].
في المستطيل EFGH، يتقاطع القطران [EG] و [FH] في منتصفهما.
بما أن K هي منتصف [FH]، فإن القطر الثاني [EG] يجب أن يمر حتما بالنقطة K.

إذن، النقاط E و K و G على استقامة واحدة.

ج. بيّن أن EHLI متوازي أضلاع

بما أن EFGH مستطيل، فإن (EF) || (HG). وبما أن I تنتمي لـ (EF) و L تنتمي لـ (HG)، فإن (EI) || (HL).
طريقة مبسطة:
- لدينا (EH) ⊥ (HG) و (IK) ⊥ (HF). بما أن H,F,G على استقامة واحدة في الرسم النموذجي للمستطيل، فإن (IK) ⊥ (HG). إذن (EH) || (IK). أي (EH) || (IL).
- لدينا (EI) || (HL) كما ذكرنا سابقاً.
خاصية: الرباعي الذي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين هو متوازي أضلاع.

إذن، الرباعي EHLI متوازي أضلاع.

د. استنتج أن FIHL معين

أولاً: (على فرض أنه متوازي أضلاع) نثبت أنه معين.
خاصية: متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
- لدينا FIHL متوازي أضلاع (نفترض).
- من السؤال (أ)، أثبتنا أن IH = IF = 2.5 cm.
- الضلعان [IH] و [IF] متتاليان في متوازي الأضلاع FIHL.

إذن، (على فرض أن الرباعي متوازي أضلاع)، نستنتج أن FIHL معين.

7

تمرين عدد 7

في الرسم المقابل AECF متوازي أضلاع حيث 45° = ÂEC و D منتصف [EC] و (AD) يعامد (EC).

المطلوب: 1. بيّن أن AC = AE. 2. استنتج أن ED = AD. 3. (باعتبار ABCD متوازي أضلاع) بيّن أنه مربع واستنتج أن EA = DB. 4. بيّن أن ABDE متوازي أضلاع.

الحل المفصل للتمرين 7

1. بيّن أن AC = AE

خاصية: المستقيم المار من منتصف قطعة ويكون عمودياً عليها هو الموسط العمودي لها. وكل نقطة تنتمي للموسط العمودي تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.

لدينا (AD) يمر من D منتصف [EC] ويعامد (EC). إذن (AD) هو الموسط العمودي لـ [EC].
بما أن النقطة A تنتمي للموسط العمودي (AD)، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة E و C.

إذن، AC = AE، والمثلث AEC متقايس الضلعين في A.

2. استنتج أن ED = AD

في المثلث AEC المتقايس الضلعين، زوايا القاعدة متقايسة: AĈE = AÊC = 45°.
في المثلث ADE القائم الزاوية في D، لدينا AÊD = 45°. مجموع زوايا المثلث 180°، إذن EÂD = 180° - 90° - 45° = 45°.
إذن المثلث ADE له زاويتان متقايستان (AÊD = EÂD = 45°)، فهو متقايس الضلعين في D.

إذن، ED = AD.

3. بيّن أن ABCD مربع واستنتج أن EA = DB

أولاً: إثبات أنه معين.
- نفترض أن ABCD متوازي أضلاع. ولدينا ضلعان متتاليان AD و DC.
- لدينا AD = ED (من السؤال 2) و ED = DC (لأن D منتصف EC). إذن AD = DC.
- متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو معين. إذن ABCD معين.
ثانياً: إثبات أنه مربع.
- في المثلث ADC المتقايس الضلعين في D (لأن AD=DC)، زاوية القاعدة DĈA = 45°. إذن زاوية الرأس AÔC = 180 - (45+45) = 90°.
- لدينا المعين ABCD به زاوية قائمة، إذن هو مربع. ABCD مربع.
ثالثاً: استنتاج أن EA = DB.
- بما أن ABCD مربع، فإن قطريه متقايسان: DB = AC.
- من السؤال 1، لدينا AC = EA.
- إذن، EA = DB.

4. بيّن أن ABDE متوازي أضلاع

الخاصيتان المعتمدتان: يكون الرباعي متوازي أضلاع إذا كانت أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى، أو إذا كانت أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى.

الطريقة الأولى: الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى

من السؤال 1، المثلث AEC متقايس الضلعين في A، إذن AE = AC.
ABCD مربع، إذن قطراه متقايسان: BD = AC. ومنه AE = BD.
ABCD مربع، إذن AB = DC. و D منتصف [EC]، إذن ED = DC. ومنه AB = ED.
في الرباعي ABDE، الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى.

إذن، الرباعي ABDE متوازي أضلاع.

الطريقة الثانية: الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى

في المثلث AEC المتقايس الضلعين في A: ∠AEC = ∠ACE = 45°، إذن ∠EAC = 90°، أي (AE) ⊥ (AC).
ABCD مربع، إذن قطراه متعامدان: (BD) ⊥ (AC).
المستقيمان (AE) و (BD) عموديان على نفس المستقيم (AC)، إذن (AE) // (BD).
ABCD مربع إذن (AB) // (DC)، وبما أن E و D و C على استقامة واحدة فإن (AB) // (ED).