تمرين تفاعلي: من شبه المنحرف إلى المربع

4
البرهان المنطقي وبناء الأشكال

ارسم شبه منحرف $ABCD$ قائم في $A$ و $D$ حيث $AB = AD = 2 \text{ cm}$ و $CD = 4 \text{ cm}$. ثم ارسم النقطة $H$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(CD)$.

  1. بيّن أن الرباعي $ABHD$ مربع.
  2. أ. أحسب $HC$ ثم $\angle HCB$.
  3. ب. استنتج أن المثلث $DBC$ قائم.
  4. عيّن النقطة $F$ بحيث تكون $H$ منتصف $[BF]$.
  5. أ. بيّن أن $B$ و $F$ متناظرتان بالنسبة الى $(CD)$.
  6. ب. بيّن أن الرباعي $BCFD$ مربع.
لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للتفكير

لإثبات أن رباعياً ما هو مربع، هناك استراتيجية قوية: أثبت أنه متوازي أضلاع، ثم أضف خاصية (مثل زاوية قائمة) ليصبح مستطيلاً، ثم أضف خاصية أخرى (مثل ضلعين متتاليين متقايسين) ليصبح مربعاً.

بالنسبة للسؤال الأخير، أسهل طريقة لإثبات أن $BCFD$ مربع هي بدراسة قطريه $[CD]$ و $[BF]$. ما هي الخصائص التي يجب أن يتمتع بها قطرا المربع؟

📝 خريطة الطريق (الطريقة)

  1. إثبات المربع الأول ($ABHD$):
    • أثبت التوازي بين الأضلاع المتقابلة لإظهار أنه متوازي أضلاع.
    • استخدم الزاوية القائمة المعطاة في $D$ لإظهار أنه مستطيل.
    • استخدم الأضلاع المتقايسة المعطاة ($AB=AD$) لإظهار أنه مربع.
  2. حسابات المثلث $HBC$: بعد إثبات أن $ABHD$ مربع، ستعرف أطوال $DH$ و $BH$. استخدمها لحساب $HC$ ثم استنتج طبيعة المثلث $HBC$ وزواياه.
  3. إثبات المربع الثاني ($BCFD$):
    • ركز على القطرين $[BF]$ و $[CD]$.
    • أثبت أنهما ينصّف كل منهما الآخر في النقطة $H$.
    • أثبت أنهما متعامدان.
    • أثبت أنهما متقايسان. إذا تحققت هذه الشروط الثلاثة، فالرباعي مربع.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. إثبات أن الرباعي $ABHD$ مربع
  • بما أن $(AD) \perp (DC)$ و $(BH) \perp (DC)$، فإن $(AD) \parallel (BH)$.
  • بما أن $ABCD$ شبه منحرف، فإن $(AB) \parallel (DC)$, أي $(AB) \parallel (DH)$.
  • الرباعي $ABHD$ له كل ضلعين متقابلين متوازيين، إذن هو متوازي أضلاع.
  • هذا المتوازي أضلاع له زاوية قائمة ($\angle D = 90^\circ$)، إذن هو مستطيل.
  • هذا المستطيل له ضلعان متتاليان متقايسان ($AB = AD = 2 \text{ cm}$)، إذن هو مربع.
2. أ. حساب $HC$ و $\angle HCB$
  • حساب $HC$: بما أن $ABHD$ مربع، فإن $DH = AB = 2 \text{ cm}$. ولدينا $DC = DH + HC$. إذن $4 = 2 + HC$, مما يعني $HC = 2 \text{ cm}$.
  • حساب $\angle HCB$: في المثلث $HBC$ القائم في $H$, لدينا $BH=AD=2 \text{ cm}$ و $HC=2 \text{ cm}$. إذن المثلث $HBC$ قائم ومتقايس الضلعين في $H$.
    خاصية: في المثلث القائم ومتقايس الضلعين، تكون زاويتا القاعدة $45^\circ$.
    إذن $\angle HCB = 45^\circ$.
2. ب. استنتاج أن المثلث $DBC$ قائم
  • في المربع $ABHD$, القطر $[BD]$ هو منصف للزاوية $\angle ADC$. إذن $\angle BDC = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.
  • في المثلث $DBC$, لدينا $\angle BDC=45^\circ$ و $\angle BCD=45^\circ$.
  • $\angle DBC = 180^\circ - (\angle BDC + \angle BCD) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$
  • بما أن $\angle DBC = 90^\circ$، فإن المثلث $DBC$ قائم في $B$.
3. أ. إثبات أن $B$ و $F$ متناظرتان بالنسبة الى $(CD)$
تعريف التناظر المحوري: تكون $F$ مناظرة $B$ بالنسبة للمستقيم $(CD)$ إذا كان $(CD)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BF]$.
  • التعامد: لدينا $(BH) \perp (CD)$ و $F$ تنتمي للمستقيم $(BH)$. إذن $(BF) \perp (CD)$.
  • المنتصف: نقطة التقاطع هي $H$, ومعطى أن $H$ هي منتصف $[BF]$.

بما أن $(CD)$ عمودي على $[BF]$ في منتصفه، فإن $B$ و $F$ متناظرتان بالنسبة للمستقيم $(CD)$.

3. ب. إثبات أن الرباعي $BCFD$ مربع
الاستراتيجية: نثبت أن قطريه $[BF]$ و $[CD]$ متقايسان، متعامدان، وينصف كل منهما الآخر.
  • ينصف كل منهما الآخر؟ يتقاطعان في $H$.
    • نعلم أن $H$ منتصف $[BF]$ (معطى).
    • نعلم أن $DH=2\text{cm}$ و $HC=2\text{cm}$. إذن $H$ منتصف $[CD]$. ✅
  • متعامدان؟ نعم، لقد أثبتنا أن $(BF) \perp (CD)$. ✅
  • متقايسان؟
    • طول $CD = 4 \text{ cm}$ (معطى).
    • طول $BF = BH + HF$. لدينا $BH=2\text{cm}$ و $HF=BH=2\text{cm}$. إذن $BF = 4 \text{ cm}$. ✅

بما أن قطري الرباعي $BCFD$ متقايسان، متعامدان، وينصف كل منهما الآخر، فإنه مربع.