إصلاح سلسلة تمارين حول رباعيات الأضلاع

الخطوة 1: تحديد طبيعة الرباعي OAEB

• بما أن A هي المسقط العمودي لـ O على (EF)، فإن الزاوية OÂE قائمة (90°).
• بما أن B هي المسقط العمودي لـ O على (EH)، فإن الزاوية OÊE قائمة (90°).
• بما أن EFGH مستطيل، فإن جميع زواياه قائمة، إذن الزاوية FÊH قائمة (90°).

الرباعي OAEB له ثلاث زوايا قائمة (في A، وB، وE)، إذن OAEB مستطيل.

الخطوة 2: استنتاج طول [AB]

• في المستطيل OAEB الذي أثبتناه للتو، القطران هما [AB] و [OE].
• إذن، لدينا المساواة: AB = OE.
• نحتاج الآن إلى حساب طول OE.
  • نعلم أن EFGH مستطيل و O هي نقطة تقاطع قطريه.
  • خاصية: قطرا المستطيل يتقاطعان في منتصفهما.
  • إذن O هي منتصف القطر [EG].
  • ومنه فإن OE = EG / 2.
  • حسب المعطيات، EG = 8 cm.
  • إذن OE = 8 / 2 = 4 cm.
• بما أن AB = OE، نستنتج أن AB = 4 cm.

1. بيّن أن AC = AE:

• لدينا (AD) يمر من D منتصف [EC] وهو عمودي على (EC).
• تعريف وخاصية: المستقيم الذي يمر من منتصف قطعة ويكون عمودياً عليها هو الموسط العمودي لهذه القطعة. وكل نقطة تنتمي للموسط العمودي تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
• إذن (AD) هو الموسط العمودي لـ [EC]. وبما أن A تنتمي لـ (AD)، فإنها متساوية البعد عن E و C.
• نستنتج أن AC = AE. (وهذا يعني أن المثلث AEC متقايس الضلعين في A).

2. ب. استنتج أن ED = AD:

• في المثلث AEC المتقايس الضلعين في A، زوايا القاعدة متقايسة: AÊC = AĈE = 45°. ومجموع زوايا المثلث 180°، إذن EÂC = 180 - (45+45) = 90°.
• في المثلث ADE القائم في D، نعلم أن AÊD = 45°. مجموع زوايا المثلث ADE هو 180°، إذن EÂD = 180 - (90 + 45) = 45°.
• وجدنا أن المثلث ADE له زاويتان متقايستان (EÂD = AÊD = 45°).
• خاصية: كل مثلث له زاويتان متقايستان هو مثلث متقايس الضلعين.
• إذن المثلث ADE متقايس الضلعين في D. والضلعان المقابلان للزاويتين المتقايستين هما [AD] و [ED].
• نستنتج أن AD = ED.

3. ب. بيّن أن ABCD مربع:

1. أولاً، نثبت أنه معين:
   • نحن نفترض أن ABCD متوازي أضلاع.
   • من السؤال السابق، لدينا AD = ED.
   • بما أن D منتصف [EC]، فإن ED = DC.
   • من العلاقتين السابقتين نستنتج أن AD = DC.
   • خاصية: متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
   • إذن ABCD معين.
2. ثانياً، نثبت أن به زاوية قائمة:
   • في المعين ABCD، القطر [AC] هو منصف للزاوية DĈB.
   • لدينا الزاوية AĈD هي نفسها الزاوية AĈE والتي تساوي 45°.
   • إذن قياس الزاوية DĈB = 2 × قياس الزاوية AĈD = 2 × 45° = 90°.
   • خاصية: المعين الذي إحدى زواياه قائمة هو مربع.

إذن ABCD مربع.

3. ج. استنتج أن EA = DB:

• لمسة فنية (حل أنيق): يمكن استخدام خصائص الأشكال مباشرة!
• بما أن ABCD مربع، فإن قطريه متقايسان. إذن AC = DB.
• من السؤال الأول، أثبتنا أن AE = AC.
• من العلاقتين، نستنتج مباشرة أن EA = DB.

4. بيّن أن ABDE متوازي أضلاع:

• الخاصيتان المعتمدتان في السابعة: يكون الرباعي متوازي أضلاع إذا كانت أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى، أو إذا كانت أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى.

الطريقة الأولى: الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى

• من السؤال 1، المثلث AEC متقايس الضلعين في A، إذن AE = AC.
• ABCD مربع، إذن قطراه متقايسان: BD = AC. ومنه AE = BD.
• ABCD مربع، إذن AB = DC. و D منتصف [EC]، إذن ED = DC. ومنه AB = ED.
• في الرباعي ABDE: [AB] و [ED] متقابلان ومتقايسان، و [AE] و [BD] متقابلان ومتقايسان.
• إذن ABDE متوازي أضلاع.

الطريقة الثانية: الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى

• في المثلث AEC المتقايس الضلعين في A: ∠AEC = ∠ACE = 45°، إذن ∠EAC = 180° - (45° + 45°) = 90°، أي (AE) ⊥ (AC).
• ABCD مربع، إذن قطراه متعامدان: (BD) ⊥ (AC).
• المستقيمان (AE) و (BD) عموديان على نفس المستقيم (AC)، إذن (AE) // (BD).
• ABCD مربع، إذن (AB) // (DC). وبما أن E و D و C على استقامة واحدة فإن (DC) = (ED)، ومنه (AB) // (ED).
• إذن ABDE متوازي أضلاع.