إصلاح سلسلة تمارين حول رباعيات الأضلاع

استكشاف مفاهيم أعمق في الرياضيات

1
التمرين رقم 1

EFGH مستطيل حيث 8cm = EG و 3cm = FH. يتقاطع قطراه [EG] و [FH] في النقطة O. لتكن A المسقط العمودي لـ O على (EF) و B المسقط العمودي لـ O على (EH).

المطلوب: بيّن أن الرباعي OAEB مستطيل واستنتج طول [AB].

الخطوة 1: تحديد طبيعة الرباعي OAEB
  • بما أن A هي المسقط العمودي لـ O على (EF)، فإن الزاوية OÂE قائمة (90°).
  • بما أن B هي المسقط العمودي لـ O على (EH)، فإن الزاوية OB̂E قائمة (90°).
  • بما أن EFGH مستطيل، فإن جميع زواياه قائمة، إذن الزاوية FÊH قائمة (90°).
خاصية: إذا كان لرباعي ثلاث زوايا قائمة، فإنه مستطيل.

الرباعي OAEB له ثلاث زوايا قائمة (في A، وB، وE)، إذن OAEB مستطيل.

الخطوة 2: استنتاج طول [AB]
خاصية: في المستطيل، يكون القطران متقايسين.
  • في المستطيل OAEB الذي أثبتناه للتو، القطران هما [AB] و [OE].
  • إذن، لدينا المساواة: AB = OE.
  • نحتاج الآن إلى حساب طول OE.
    • نعلم أن EFGH مستطيل و O هي نقطة تقاطع قطريه.
    • خاصية: قطرا المستطيل يتقاطعان في منتصفهما.
    • إذن O هي منتصف القطر [EG].
    • ومنه فإن OE = EG / 2.
    • حسب المعطيات، EG = 8 cm.
    • إذن OE = 8 / 2 = 4 cm.
  • بما أن AB = OE، نستنتج أن AB = 4 cm.
2
تمرين عدد 2

(KL) هو الموسط العمودي للقطعة [IJ].

بحيث JK=JL

المطلوب: بيّن أن الرباعي IKJL معين.

تعريف المعين: المعين هو رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة.

لإثبات أن IKJL معين، يجب أن نثبت أن أضلاعه الأربعة (IK, KJ, JL, LI) متقايسة.

خاصية الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.
  • الخطوة 1: النقطة K تنتمي إلى (KL) الذي هو الموسط العمودي لـ [IJ].
    بتطبيق الخاصية، نستنتج أن K متساوية البعد عن I و J. إذن IK = JK.
  • الخطوة 2: النقطة L تنتمي إلى (KL) الذي هو الموسط العمودي لـ [IJ].
    بتطبيق الخاصية، نستنتج أن L متساوية البعد عن I و J. إذن IL = JL.
  • الخطوة 3: إذا أضفنا معطى شائعاً مثل أن (IJ) هو أيضاً الموسط العمودي لـ(KL)، فإن I تكون متساوية البعد عن K و L (IK=IL)، و J تكون متساوية البعد عن K و L (JK=JL). من الخطوات السابقة لدينا: IK = JK و IL = JL. بدمج كل العلاقات، نجد أن: IK = JK = JL = LI.

بما أن جميع أضلاع الرباعي IKJL متقايسة، فإنه معين.

3
التمرين رقم 3

في الرسم المقابل AECF متوازي أضلاع حيث 45° = ÂEC و D منتصف [EC] و (AD) يعامد (EC).

  1. بيّن أن AC = AE.
  2. ب. استنتج أن ED = AD.
  3. ب. بيّن أن ABCD مربع (باعتبار أن ABCD متوازي أضلاع).
  4. ج. استنتج أن EA = DB.
  5. بيّن أن ABDE متوازي أضلاع.
1. بيّن أن AC = AE:
  • لدينا (AD) يمر من D منتصف [EC] وهو عمودي على (EC).
  • تعريف وخاصية: المستقيم الذي يمر من منتصف قطعة ويكون عمودياً عليها هو الموسط العمودي لهذه القطعة. وكل نقطة تنتمي للموسط العمودي تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
  • إذن (AD) هو الموسط العمودي لـ [EC]. وبما أن A تنتمي لـ (AD)، فإنها متساوية البعد عن E و C.
  • نستنتج أن AC = AE. (وهذا يعني أن المثلث AEC متقايس الضلعين في A).
2. ب. استنتج أن ED = AD:
  • في المثلث AEC المتقايس الضلعين في A، زوايا القاعدة متقايسة: AÊC = AĈE = 45°. ومجموع زوايا المثلث 180°، إذن EÂC = 180 - (45+45) = 90°.
  • في المثلث ADE القائم في D، نعلم أن AÊD = 45°. مجموع زوايا المثلث ADE هو 180°، إذن EÂD = 180 - (90 + 45) = 45°.
  • وجدنا أن المثلث ADE له زاويتان متقايستان (EÂD = AÊD = 45°).
  • خاصية: كل مثلث له زاويتان متقايستان هو مثلث متقايس الضلعين.
  • إذن المثلث ADE متقايس الضلعين في D. والضلعان المقابلان للزاويتين المتقايستين هما [AD] و [ED].
  • نستنتج أن AD = ED.
3. ب. بيّن أن ABCD مربع:
  1. أولاً، نثبت أنه معين:
    • نحن نفترض أن ABCD متوازي أضلاع.
    • من السؤال السابق، لدينا AD = ED.
    • بما أن D منتصف [EC]، فإن ED = DC.
    • من العلاقتين السابقتين نستنتج أن AD = DC.
    • خاصية: متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
    • إذن ABCD معين.
  2. ثانياً، نثبت أن به زاوية قائمة:
    • في المعين ABCD، القطر [AC] هو منصف للزاوية DĈB.
    • لدينا الزاوية AĈD هي نفسها الزاوية AĈE والتي تساوي 45°.
    • إذن قياس الزاوية DĈB = 2 × قياس الزاوية AĈD = 2 × 45° = 90°.
    • خاصية: المعين الذي إحدى زواياه قائمة هو مربع.

إذن ABCD مربع.

3. ج. استنتج أن EA = DB:
  • لمسة فنية (حل أنيق): يمكن استخدام خصائص الأشكال مباشرة!
  • بما أن ABCD مربع، فإن قطريه متقايسان. إذن AC = DB.
  • من السؤال الأول، أثبتنا أن AE = AC.
  • من العلاقتين، نستنتج مباشرة أن EA = DB.
4. بيّن أن ABDE متوازي أضلاع:
  • الخاصيتان المعتمدتان في السابعة: يكون الرباعي متوازي أضلاع إذا كانت أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى، أو إذا كانت أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى.
الطريقة الأولى: الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى
  • من السؤال 1، المثلث AEC متقايس الضلعين في A، إذن AE = AC.
  • ABCD مربع، إذن قطراه متقايسان: BD = AC. ومنه AE = BD.
  • ABCD مربع، إذن AB = DC. و D منتصف [EC]، إذن ED = DC. ومنه AB = ED.
  • في الرباعي ABDE: [AB] و [ED] متقابلان ومتقايسان، و [AE] و [BD] متقابلان ومتقايسان.
  • إذن ABDE متوازي أضلاع.
الطريقة الثانية: الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى
  • في المثلث AEC المتقايس الضلعين في A: ∠AEC = ∠ACE = 45°، إذن ∠EAC = 180° - (45° + 45°) = 90°، أي (AE) ⊥ (AC).
  • ABCD مربع، إذن قطراه متعامدان: (BD) ⊥ (AC).
  • المستقيمان (AE) و (BD) عموديان على نفس المستقيم (AC)، إذن (AE) // (BD).
  • ABCD مربع، إذن (AB) // (DC). وبما أن E و D و C على استقامة واحدة فإن (DC) = (ED)، ومنه (AB) // (ED).
  • إذن ABDE متوازي أضلاع.
4
التمرين رقم 4

ارسم شبه منحرف ABCD قائم في A و D حيث AB = AD = 2 cm و CD = 4 cm. ثم ارسم النقطة H المسقط العمودي لـ B على (CD).

  1. بيّن أن الرباعي ABHD مربع.
  2. أ. أحسب HC ثم HÊC.
  3. ب. استنتج أن المثلث DBC قائم.
  4. عيّن النقطة F بحيث تكون H منتصف [BF].
  5. أ. بيّن أن B و F متناظرتان بالنسبة الى (CD).
  6. ب. بيّن أن الرباعي BCFD مربع.
1. إثبات أن الرباعي ABHD مربع
  • تحليل المعطيات:
    • شبه منحرف قائم في A و D يعني (AB) || (DC) و (AD) ⊥ (DC).
    • H المسقط العمودي لـ B على (CD) يعني (BH) ⊥ (CD).
  • البرهان:
    • بما أن (AD) ⊥ (DC) و (BH) ⊥ (DC)، فإن (AD) || (BH).
    • لدينا (AB) || (DC)، أي (AB) || (DH).
    • الرباعي ABHD له كل ضلعين متقابلين متوازيين، إذن هو متوازي أضلاع.
    • هذا المتوازي أضلاع له زاوية قائمة (مثلاً الزاوية D = 90°)، إذن هو مستطيل.
    • هذا المستطيل له ضلعان متتاليان متقايسان (AB = AD = 2 cm)، إذن هو مربع.

    النتيجة: الرباعي ABHD مربع.

2. أ. حساب HC و HÊC
  • حساب HC:
    • بما أن ABHD مربع، فإن DH = AB = 2 cm.
    • لدينا DC = DH + HC. بالتعويض: 4 = 2 + HC.
    • إذن HC = 2 cm.
  • حساب HÊC:
    • المثلث HBC قائم في H.
    • بما أن ABHD مربع، فإن BH = AD = 2 cm.
    • وجدنا أن HC = 2 cm. إذن المثلث HBC قائم ومتقايس الضلعين في H.
    • خاصية: في المثلث القائم ومتقايس الضلعين، تكون زاويتا القاعدة متقايستين وقياس كل منهما 45°.
    • إذن HÊC = 45°.
2. ب. استنتاج أن المثلث DBC قائم
  • في المربع ABHD، القطر [BD] يشكل زاوية 45° مع الأضلاع.
  • الزاوية BĈD هي نفسها الزاوية HĈB والتي تساوي 45° (من السؤال السابق).
  • في المثلث DBC، مجموع الزوايا يساوي 180°.
  • ∠DBC = 180° - (45° + 45°) = 90°

بما أن الزاوية DBC تساوي 90°، فإن المثلث DBC قائم في B.

3. أ. إثبات أن B و F متناظرتان بالنسبة الى (CD)
  • تعريف التناظر المحوري: تكون F مناظرة B بالنسبة للمستقيم (CD) إذا كان (CD) هو الموسط العمودي للقطعة [BF].
  • التحقق من التعامد:
    • لدينا (BH) ⊥ (CD).
    • بما أن F تنتمي للمستقيم (BH) (لأن H منتصف [BF])، فإن المستقيم (BF) هو نفسه المستقيم (BH).
    • إذن (BF) ⊥ (CD).
  • التحقق من المنتصف:
    • نقطة تقاطع (BF) و (CD) هي النقطة H.
    • حسب معطيات السؤال، H هي منتصف [BF].

بما أن (CD) عمودي على [BF] في منتصفه H، فإن (CD) هو الموسط العمودي لـ [BF]. إذن B و F متناظرتان بالنسبة للمستقيم (CD).

3. ب. إثبات أن الرباعي BCFD مربع
  • البرهان باستخدام خصائص الأقطار:
  • خاصية: يكون الرباعي مربعًا إذا كان قطراه متقايسين، متعامدين، وينصف كل منهما الآخر.
  • تحليل قطري الرباعي BCFD وهما [CD] و [BF]:
    • ينصف كل منهما الآخر: يتقاطعان في H. أثبتنا أن H منتصف [BF] (معطى). وأثبتنا أن DH = 2 cm و HC = 2 cm، إذن H منتصف [CD]. ✅
    • متعامدان: أثبتنا أن (BF) ⊥ (CD). ✅
    • متقايسان: نحسب طوليهما.
      • طول CD = 4 cm (معطى).
      • طول BF = BH + HF. لدينا BH = 2 cm (ضلع المربع ABHD). وبما أن H منتصف [BF] فإن HF = BH = 2 cm. إذن BF = 2 + 2 = 4 cm. ✅

بما أن قطري الرباعي BCFD متقايسان، متعامدان، وينصف كل منهما الآخر، فإن BCFD مربع.