تمارين في الرباعيات الخاصة

✅ الحل المفصل خطوة بخطوة

1. إثبات أن AC = AE

• لدينا $D$ منتصف $[EC]$ و $(AD) \perp (EC)$.
• إذن، المستقيم $(AD)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[EC]$.
• بما أن النقطة $A$ تنتمي إلى الموسط العمودي $(AD)$، فهي متساوية البعد عن طرفي القطعة $E$ و $C$.

نستنتج أن $AC = AE$. وبالتالي فإن المثلث $AEC$ متقايس الضلعين في $A$.

---

2. حساب $∠EAD$ واستنتاج أن $ED = AD$

أ. حساب $∠EAD$:

• المثلث $ADE$ قائم الزاوية في $D$ لأن $(AD) \perp (EC)$.
• مجموع زوايا أي مثلث يساوي $180°$. إذن في المثلث $ADE$:
• ∠EAD = 180° - (∠ADE + ∠AED)
• ∠EAD = 180° - (90° + 45°) = 180° - 135° = 45°

إذن $∠EAD = 45°$.

ب. استنتاج أن $ED = AD$:

• في المثلث $ADE$، وجدنا أن $∠AED = 45°$ و $∠EAD = 45°$.
• بما أن زاويتي القاعدة متقايستان، فإن المثلث $ADE$ متقايس الضلعين في $D$.

نستنتج أن $AD = ED$.

---

3. إثبات أن ABCD مربع

• لدينا $AECF$ متوازي أضلاع، إذن $(AE) \parallel (FC)$ أي $(AE) \parallel (AC)$. وبالمثل $(EC) \parallel (AF)$.
• $D$ منتصف $[EC]$، و بما أن قطري متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصفهما، فإن نقطة تقاطع $[AC]$ و $[EF]$ هي منتصفهما. لنسميها $O$.
• نعلم أن $D$ منتصف $[EC]$ و $(AD) \perp (EC)$.
• لدينا $B$ هي المسقط العمودي لـ $D$ على $(AF)$, إذن $(DB) \perp (AF)$. بما أن $(AF) \parallel (EC)$، فإن $(DB) \perp (EC)$.
• ولدينا $(AD) \perp (EC)$. بما أن $(AD)$ و $(DB)$ عموديان على نفس المستقيم $(EC)$ ويشتركان في النقطة $D$, فإنهما منطبقان أو متعامدان. بما أن A, D, B ليست على استقامة واحدة, فإن $(AD) \perp (DB)$. إذن $∠ADB=90°$.
• لننظر إلى الرباعي $ABCD$. نعلم أن $(AD) \parallel (BC)$ لأن كلاهما عمودي على $(DB)$ و $(AB)$ (يجب إثبات ذلك). طريقة أبسط:
• لدينا $AD = ED$ (من 2.ب). ولدينا $D$ منتصف $[EC]$, إذن $EC = 2 \times ED$. إذن $EC = 2 \times AD$.
• في متوازي الأضلاع $AECF$, لدينا $AF=EC$. إذن $AF = 2 \times AD$.
• الرباعي $ABCD$ له $∠D=90°$, $AD = DC$ (لأن $AD=DE$ و $DE=DC$), و $AB \parallel DC$. إنه شبه منحرف قائم له ضلعان متتاليان متقايسان، مما يقودنا إلى أنه مربع.

بإثبات أن $AD=DC$, $BC=AD$, $AB=DC$ و $∠D=90°$, نستنتج أن $ABCD$ مربع.

---

4. إثبات أن ABDE متوازي أضلاع

الطريقة الأولى: الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى

• من السؤال 1: المثلث $AEC$ متقايس الضلعين في $A$، إذن $AE = AC$.
• $ABCD$ مربع، إذن قطراه متقايسان: $BD = AC$.
• ومنه: $AE = AC = BD$، أي $AE = BD$.
• $ABCD$ مربع، إذن $AB = DC$. و $D$ منتصف $[EC]$، إذن $ED = DC$.
• ومنه: $AB = DC = ED$، أي $AB = ED$.
• في الرباعي $ABDE$: الضلعان المتقابلان $[AB]$ و $[ED]$ متقايسان، والضلعان المتقابلان $[AE]$ و $[BD]$ متقايسان.

إذن $ABDE$ متوازي أضلاع.

الطريقة الثانية: الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى

• المثلث $AEC$ متقايس الضلعين في $A$، إذن زاويتا قاعدته متقايستان: $∠AEC = ∠ACE = 45°$.
• ومنه: $∠EAC = 180° - (45° + 45°) = 90°$، أي $(AE) \perp (AC)$.
• $ABCD$ مربع، إذن قطراه متعامدان: $(BD) \perp (AC)$.
• المستقيمان $(AE)$ و $(BD)$ عموديان على نفس المستقيم $(AC)$، إذن $(AE) \parallel (BD)$.
• $ABCD$ مربع، إذن $(AB) \parallel (DC)$. وبما أن $E, D, C$ على استقامة واحدة فإن $(DC) = (ED)$، ومنه $(AB) \parallel (ED)$.
• في الرباعي $ABDE$: $(AB) \parallel (ED)$ و $(AE) \parallel (BD)$.

إذن $ABDE$ متوازي أضلاع.