ابن دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) وعين عليها نقطة \(A\) ثم ابن \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([OA]\). \(\Delta\) يقطع \(\mathcal{C}\) في نقطتين مختلفتين \(B\) و \(D\).
للسؤال 1: ما هي خاصيات المعين؟ فكر في أضلاعه وأقطاره. كيف يساعدك الموسط العمودي؟
للسؤال 2.أ: ما هي الخاصية التي تميز أقطار المستطيل؟ لاحظ أن \(M\) و \(N\) نقطتان من الدائرة.
للسؤال 3: تذكر أنك بينت أن \((BN) // (OA)\). ابحث الآن عن توازٍ ثانٍ بين الضلعين المتقابلين الآخرين: ماذا تعطيك أضلاع المعين \(OBAD\)؟
1) لإثبات أن OBAD معين:
- استخدم تعريف الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي إليه تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
- استخدم تعريف الدائرة: كل النقاط عليها متساوية البعد عن المركز.
- اجمع هذه المعطيات لإثبات أن الأضلاع الأربعة \(OB, BA, AD, DO\) متقايسة.
2.أ) لإثبات أن BDMN مستطيل:
- بين أن \(BDMN\) متوازي أضلاع (أقطاره تتقاطع في نفس المنتصف \(O\)).
- بين أن أقطاره متقايسة. \(BM\) و \(DN\) هما قطران في الدائرة \(\mathcal{C}\).
2.ب) لاستنتاج التوازي:
- استخدم خاصية المستطيل: الأضلاع المتقابلة متوازية.
- في المعين \(OBAD\), بين أن \((BD) \perp (OA)\).
- في المستطيل \(BDMN\), بين أن \((BD) \perp (BN)\) غير صحيح, بل استخدم توازي أضلاع المستطيل مع علاقات أخرى.
3) لإثبات أن OABN معين:
- بين أن \(OABN\) متوازي أضلاع بإثبات أن أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى: \((OA) // (BN)\) و \((AB) // (NO)\).
- ثم بين أن له ضلعين متتاليين متقايسين (مثلاً \(OA=ON\)).
1) نبين أن OBAD معين:
لدينا \(O, A, B, D\) نقاط من الدائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\), إذن \(OA = OB = OD\) (شعاع الدائرة).
بما أن \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([OA]\) و \(B, D \in \Delta\), فإن \(BA = BO\) و \(DA = DO\).
من كل هذا نستنتج أن: \(OA = OB = OD = BA = DA\).
الرباعي \(OBAD\) له أربعة أضلاع متقايسة، إذن هو **معين**.
2.أ) نبين أن BDMN مستطيل:
النقط \(M, B\) متقابلتان قطريًا على الدائرة، إذن \([MB]\) قطر و \(O\) منتصفه.
النقط \(N, D\) متقابلتان قطريًا على الدائرة، إذن \([ND]\) قطر و \(O\) منتصفه.
الرباعي \(BDMN\) له قطران \([MB]\) و \([ND]\) يتقاطعان في نفس المنتصف \(O\), إذن هو متوازي أضلاع.
بما أن \([MB]\) و \([ND]\) قطران في نفس الدائرة، فإن \(MB = ND\).
متوازي أضلاع أقطاره متقايسة هو **مستطيل**.
2.ب) نستنتج أن (BN) // (OA):
في المعين \(OBAD\), الأقطار متعامدة، أي \((BD) \perp (OA)\).
في المستطيل \(BDMN\), الأضلاع المتتالية متعامدة، أي \((BD) \perp (BN)\).
لدينا مستقيمان \((OA)\) و \((BN)\) عموديان على نفس المستقيم \((BD)\), إذن **\((BN) // (OA)\)**.
3) نبين أن OABN معين:
في الرباعي \(OABN\) الضلعان المتقابلان هما \([OA]\) و \([BN]\) من جهة, و \([AB]\) و \([NO]\) من جهة أخرى.
• من السؤال 2.ب: \((OA) // (BN)\).
• في المعين \(OBAD\) الأضلاع المتقابلة متوازية, إذن \((BA) // (DO)\). وبما أن \(N\) تنتمي إلى المستقيم \((OD)\), فإن \((NO) = (OD)\), ومنه \((AB) // (NO)\).
الرباعي \(OABN\) أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى, إذن هو متوازي أضلاع.
ولدينا \(ON = OA = R\) (شعاعان في الدائرة \(\mathcal{C}\)), وهما ضلعان متتاليان متقايسان.
متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو **معين**. إذن \(OABN\) معين.
ارسم مثلثًا \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\) وعين \(I\) منتصف \([BC]\). المستقيم المار من \(A\) والموازي لـ \((BC)\) يقطع المستقيم المار من \(I\) والموازي لـ \((AB)\) في \(J\).
للسؤال 1: ما هو تعريف متوازي الأضلاع؟ فكر في توازي الأضلاع المتقابلة.
للسؤال 2: في المثلث المتقايس الضلعين، ما هي خاصية الموسط الصادر من الرأس الرئيسي؟
للسؤال 3: لإثبات أنه مستطيل، يكفي إثبات أنه متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة. أي زاوية؟
للسؤال 4: لإثبات أنه معين، يكفي إثبات أنه متوازي أضلاع وبه ضلعان متتاليان متقايسان.
1) لإثبات أن ABIJ متوازي أضلاع:
- استخدم المعطيات: لديك \((AB) // (IJ)\) و \((AJ) // (BI)\) (لأن \((AJ)\) هو جزء من الموازي لـ \((BC)\)).
2) لإثبات التعامد:
- في المثلث \(ABC\) المتقايس الضلعين في \(A\), المستقيم \((AI)\) هو الموسط المتعلق بالقاعدة \([BC]\). استنتج طبيعته.
3) لإثبات أن AJCI مستطيل:
- بين أولاً أنه متوازي أضلاع (باستخدام توازي الأضلاع المتقابلة).
- استخدم نتيجة السؤال 2 لإيجاد زاوية قائمة في هذا الرباعي.
4) لإثبات أن AMIN معين:
- بين أولاً أن \(AMIN\) متوازي أضلاع.
- ✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
1) نبين أن ABIJ متوازي أضلاع:
لدينا من المعطيات: \((AB) // (IJ)\).
ولدينا \((AJ)\) هو المستقيم المار من \(A\) والموازي لـ \((BC)\), و \((BI)\) جزء من \((BC)\), إذن \((AJ) // (BI)\).
الرباعي \(ABIJ\) له كل ضلعين متقابلين متوازيين, إذن هو **متوازي أضلاع**.
2) نبين أن (AI) ⊥ (BC):
في المثلث \(ABC\) المتقايس الضلعين في \(A\), \(I\) هي منتصف القاعدة \([BC]\). إذن المستقيم \((AI)\) هو الموسط الصادر من الرأس الرئيسي.
في مثلث متقايس الضلعين، الموسط الصادر من الرأس الرئيسي هو أيضا ارتفاع. إذن **\((AI) \perp (BC)\)**.
3) نبين أن AJCI مستطيل:
نسمّي \(M\) نقطة تقاطع \((IJ)\) و \((AC)\).
• في المثلث \(ABC\): المستقيم \((IJ)\) يمر من منتصف \(I\) للضلع \([BC]\) ويوازي الضلع \((AB)\), إذن هو يمر من منتصف الضلع \([AC]\): أي أن \(M\) هي منتصف \([AC]\), ولدينا كذلك \(IM = \dfrac{AB}{2}\).
• بما أن \(ABIJ\) متوازي أضلاع, فإن \(IJ = AB\). إذن \(IM = \dfrac{IJ}{2}\), أي أن \(M\) هي أيضا منتصف \([IJ]\).
• إذن قطرا الرباعي \(AJCI\), وهما \([AC]\) و \([IJ]\), يتقاطعان في نفس المنتصف \(M\).
• ولدينا \(IJ = AB\) و \(AB = AC\) (المثلث متقايس الضلعين في \(A\)), إذن القطران متقايسان: \(AC = IJ\).
رباعي قطراه متقايسان ويتقاطعان في نفس المنتصف هو مستطيل.
ولدينا \(\angle AIC = 90^\circ\) لأن \((AI) \perp (BC)\).
متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو **مستطيل**.
4) نبين أن AMIN معين:
لدينا \((IN) // (AC)\) من المعطيات, إذن \((IN) // (AM)\).
لدينا \((IM)\) جزء من \((IJ)\) و \((IJ) // (AB)\), إذن \((IM) // (AN)\).
الرباعي \(AMIN\) له كل ضلعين متقابلين متوازيين, فهو متوازي أضلاع.
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
بما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\), فإن \(AB=AC\). إذن \(AN=AM\).
متوازي الأضلاع \(AMIN\) له ضلعان متتاليان متقايسان, إذن هو **معين**.
ارسم متوازي أضلاع \(ABCD\) بحيث \(AB = 4\) و \(AD = 2\) و \(\angle ABC = 60^\circ\). عين النقاط \(O\) منتصف \([AC]\), و \(E\) منتصف \([AB]\), و \(F\) منتصف \([CD]\).
للسؤال 1.أ: بين أن \(AEFD\) متوازي أضلاع أولاً، ثم بين أن له ضلعين متتاليين متقايسين.
للسؤال 2.أ: احسب أطوال أضلاع المثلث \(AFD\) باستخدام المعطيات وخواص متوازي الأضلاع.
للسؤال 2.ج: ما هي خاصية أقطار المعين \(AECF\)؟
للسؤال 3.أ: لإثبات أنه مستطيل، بين أنه متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة. استخدم نظرية المستقيمات المتوسطة.
1.أ) لإثبات أن AEFD معين:
- بين أن أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى: \((AE) // (DF)\) و \((AD) // (EF)\) (استعمل المستقيم المار من منتصفي ضلعين في مثلث).
- قارن \(AE\) مع \(AD\). \(AE = 4/2=2\) و \(AD=2\).
2.أ) لتحديد طبيعة المثلث AFD:
- لديك \(AD=2\).
- \(DF = CD/2 = AB/2 = 4/2 = 2\).
- ✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
3.أ) لإثبات أن AOFK مستطيل:
- بين أن \(AOFK\) متوازي أضلاع.
- في المثلث \(ADC\), \(O\) منتصف \([AC]\) و \(F\) منتصف \([CD]\). استنتج علاقة بين \((OF)\) و \((AD)\).
- هذا يثبت وجود زاوية قائمة.
1.أ) نبين أن AEFD معين:
بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع, فإن \((AB) // (CD)\) و \(AB = CD = 4\).
\(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([CD]\), إذن \(AE = EB = CF = FD = 2\).
بما أن \((AE)\) جزء من \((AB)\) و \((FD)\) جزء من \((CD)\), فإن \((AE) // (FD)\).
من جهة أخرى: في المثلث \(ABC\), \(E\) منتصف \([AB]\) و \(O\) منتصف \([AC]\), إذن \((EO) // (BC)\). وفي المثلث \(ACD\), \(O\) منتصف \([AC]\) و \(F\) منتصف \([CD]\), إذن \((OF) // (AD)\). وبما أن \((BC) // (AD)\), فإن \((EO)\) و \((OF)\) يوازيان \((AD)\) ويمران من النقطة \(O\): إذن هما منطبقان, و \((EF) // (AD)\).
الرباعي \(AEFD\) أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى (\((AE)//(DF)\) و \((AD)//(EF)\)), إذن هو متوازي أضلاع.
لدينا \(AD=2\) و \(AE=2\), إذن \(AD=AE\).
متوازي الأضلاع \(AEFD\) له ضلعان متتاليان متقايسان, إذن هو **معين**.
1.ب) نحسب \(\angle EFD\):
في متوازي الأضلاع \(ABCD\), \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\). إذن \(\angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
في المعين \(AEFD\), الزوايا المتقابلة متقايسة, إذن \(\angle EFD = \angle EAD = \angle DAB = 120^\circ\).
إذن **\(\angle EFD = 120^\circ\)**.
2.أ) طبيعة المثلث AFD:
لدينا \(AD=2\) و \(DF=2\). إذن المثلث \(AFD\) متقايس الضلعين في \(D\).
2.ب) نبين أن AECF معين:
لدينا \(AE=2\) و \(CF=2\) و \((AE)//(CF)\). إذن \(AECF\) متوازي أضلاع.
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
2.ج) نستنتج أن O منتصف [EF]:
إذا كان \(AECF\) متوازي أضلاع, فإن قطريه \([AC]\) و \([EF]\) يتقاطعان في نفس المنتصف.
بما أن \(O\) منتصف \([AC]\), فإن **\(O\) هي أيضا منتصف \([EF]\)**.
3.أ) نبين أن AOFK مستطيل:
لدينا \((FK) // (AC)\) من المعطيات, إذن \((FK) // (AO)\).
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
في المثلث \(ADC\), \(O\) منتصف \([AC]\) و \(F\) منتصف \([CD]\). حسب نظرية المستقيمات المتوسطة, \((OF) // (AD)\) و \(OF = \frac{AD}{2}\).
إذن \((OF) // (AK)\).
الرباعي \(AOFK\) له كل ضلعين متقابلين متوازيين, فهو متوازي أضلاع.
في المعين \(AEFD\), الأقطار متعامدة, \((AF) \perp (ED)\). لا يساعدنا هذا.
بما أن \((OF) // (AD)\) و \(ABCD\) متوازي أضلاع, فإن \(\angle DAO + \angle AOF = 180\).
نحتاج زاوية قائمة. بما أن \(AD \neq CD\), فإن \(\angle ADC \neq 90\).
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
(بناء على المعطيات الأصلية, لا يمكن إثبات أنه مستطيل).
3.ب) نحسب OK:
إذا افترضنا أن \(AOFK\) مستطيل, فإن أقطاره متقايسة: \(OK = AF\).
في المثلث \(ADF\), \(\angle D = 180-60=120\).
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.