إصلاح سلسلة تمارين حول رباعيات الأضلاع

مجموعة من التمارين التفاعلية لكشف أسرار الهندسة خطوة بخطوة

1

لغز المستطيل الخفي

$EFGH$ مستطيل حيث $EG = 8$cm. يتقاطع قطراه $[EG]$ و $[FH]$ في النقطة $O$.

لتكن $A$ المسقط العمودي لـ $O$ على $(EF)$ و $B$ المسقط العمودي لـ $O$ على $(EH)$.

المطلوب: بيّن أن الرباعي $OAEB$ مستطيل واستنتج طول $[AB]$.

ملاحظة: المعطى $FH=3$cm في ورقة التمرين الأصلية هو خطأ مطبعي، لأن قطري المستطيل متقايسان. سنعتمد على $EG=FH=8$cm.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

ما هي الخاصية التي تميز المستطيل عن باقي متوازيات الأضلاع؟ ابحث عن عدد الزوايا القائمة في الرباعي $OAEB$. لحساب طول $[AB]$، تذكر أن الأقطار في المستطيل متقايسة.

📝 خارطة طريق الحل

  1. إثبات المستطيل: استخدم تعريف المسقط العمودي لإيجاد زاويتين قائمتين في $OAEB$. استخدم خصائص المستطيل $EFGH$ لإيجاد الزاوية القائمة الثالثة.
  2. حساب الطول: أثبت أن $[AB]$ و $[OE]$ هما قطرا المستطيل $OAEB$. استنتج أن $AB = OE$. احسب $OE$ باستخدام خصائص أقطار المستطيل الكبير $EFGH$.

✅ الحل المفصل

1. إثبات أن $OAEB$ مستطيل
خاصية: إذا كان لرباعي ثلاث زوايا قائمة، فإنه مستطيل.
  • بما أن $A$ المسقط العمودي لـ $O$ على $(EF)$, فإن $∠OAE = 90°$.
  • بما أن $B$ المسقط العمودي لـ $O$ على $(EH)$, فإن $∠OBE = 90°$.
  • بما أن $EFGH$ مستطيل، فإن زواياه كلها قائمة، إذن $∠FEH = 90°$.

الرباعي $OAEB$ له ثلاث زوايا قائمة (في $A$, $B$, و $E$)، إذن فهو مستطيل.

2. استنتاج طول $[AB]$
خاصية: في المستطيل، يكون القطران متقايسين.
  • في المستطيل $OAEB$, القطران هما $[AB]$ و $[OE]$. إذن $AB = OE$.
  • في المستطيل الكبير $EFGH$, يتقاطع القطران في منتصفهما. إذن $O$ هي منتصف القطر $[EG]$.
  • إذن، $OE = \frac{1}{2} EG$.
  • بما أن $EG = 8$ cm، فإن $OE = \frac{8}{2} = 4$ cm.

بما أن $AB = OE$, نستنتج أن $AB = 4$ cm.

2

شلال الخصائص الهندسية

$AECF$ متوازي أضلاع حيث $∠AEC = 45°$. النقطة $D$ هي منتصف $[EC]$ والمستقيم $(AD)$ عمودي على $(EC)$.

  1. بيّن أن $AC = AE$.
  2. استنتج أن $ED = AD$.
  3. بافتراض أن $ABCD$ متوازي أضلاع، بيّن أنه مربع.
  4. استنتج أن $EA = DB$.
  5. بيّن أن $ABDE$ متوازي أضلاع.

لم تبدأ بعد

💡 مفتاح البداية

المفتاح الأول هو تحديد طبيعة المستقيم $(AD)$ بالنسبة للقطعة $[EC]$. هذا سيحل السؤال الأول. المفتاح الثاني هو العمل داخل المثلث القائم $ADE$ واستخدام الزاوية $45°$ المعطاة.

📝 خارطة طريق الحل

  1. تساوي الأضلاع: استخدم تعريف الموسط العمودي.
  2. المثلث القائم: استخدم مجموع زوايا المثلث $ADE$ لإثبات أنه متقايس الضلعين.
  3. إثبات المربع: أثبت أنه معين (ضلعان متتاليان متقايسان) ثم أثبت أن به زاوية قائمة.
  4. تساوي القطرين: استخدم خاصية تساوي قطري المربع.
  5. متوازي الأضلاع الأخير: استعمل إحدى الخاصيتين: الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى ($AB=ED$ و $AE=BD$)، أو الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى ($(AB)\parallel(ED)$ و $(AE)\parallel(BD)$).

✅ الحل المفصل

1. إثبات أن $AC = AE$
خاصية الموسط العمودي: المستقيم المار من منتصف قطعة وعمودي عليها هو الموسط العمودي لها.
  • لدينا $D$ منتصف $[EC]$ و $(AD) \perp (EC)$. إذن $(AD)$ هو الموسط العمودي لـ $[EC]$.
  • بما أن $A$ تنتمي للموسط العمودي، فهي متساوية البعد عن طرفي القطعة $E$ و $C$.

إذن $AC = AE$، والمثلث $AEC$ متقايس الضلعين في $A$.

2. استنتاج أن $ED = AD$
  • في المثلث القائم $ADE$ (قائم في $D$), لدينا $∠AED = 45°$ (معطى).
  • مجموع زوايا المثلث $180°$, إذن $∠EAD = 180° - 90° - 45° = 45°$.
  • بما أن $∠EAD = ∠AED = 45°$, فإن المثلث $ADE$ متقايس الضلعين في $D$.

إذن $ED = AD$.

3. إثبات أن $ABCD$ مربع
  1. أولاً، نثبت أنه معيّن:
    • بافتراض أن $ABCD$ متوازي أضلاع، لدينا ضلعان متتاليان $AD$ و $DC$.
    • من السؤال 2، $AD = ED$. وبما أن $D$ منتصف $[EC]$, فإن $ED = DC$.
    • إذن $AD = DC$. متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معيّن.
  2. ثانياً، نثبت أن به زاوية قائمة:
    • في المعيّن $ABCD$, القطر $[AC]$ منصف للزاوية $∠DCB$.
    • لدينا $∠DCA = ∠ECA$. في المثلث $AEC$ متقايس الضلعين في $A$ وزاويته $∠AEC=45°$, تكون $∠ECA=45°$.
    • إذن $∠DCB = 2 \times ∠DCA = 2 \times 45° = 90°$.
    • معيّن به زاوية قائمة هو مربع.

نستنتج أن $ABCD$ مربع.

4. استنتاج أن $EA = DB$
  • بما أن $ABCD$ مربع، فإن قطريه متقايسان: $AC = DB$.
  • من السؤال 1، أثبتنا أن $AE = AC$.

إذن، بالتعويض، $EA = DB$.

5. إثبات أن $ABDE$ متوازي أضلاع
الخاصيتان المعتمدتان: يكون الرباعي متوازي أضلاع إذا كانت أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى، أو إذا كانت أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى.

الطريقة الأولى: الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى

  • المثلث $AEC$ متقايس الضلعين في $A$، إذن $AE = AC$ (السؤال 1).
  • $ABCD$ مربع، إذن قطراه متقايسان: $BD = AC$. ومنه $AE = BD$.
  • $ABCD$ مربع، إذن $AB = DC$. و $D$ منتصف $[EC]$، إذن $ED = DC$. ومنه $AB = ED$.
  • في الرباعي $ABDE$ الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى.

إذن الرباعي $ABDE$ متوازي أضلاع.

الطريقة الثانية: الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى

  • في المثلث $AEC$ المتقايس الضلعين في $A$: $∠AEC = ∠ACE = 45°$، إذن $∠EAC = 90°$، أي $(AE) \perp (AC)$.
  • $ABCD$ مربع، إذن قطراه متعامدان: $(BD) \perp (AC)$.
  • $(AE)$ و $(BD)$ عموديان على نفس المستقيم $(AC)$، إذن $(AE) \parallel (BD)$.
  • $ABCD$ مربع إذن $(AB) \parallel (DC)$، وبما أن $E, D, C$ على استقامة واحدة فإن $(AB) \parallel (ED)$.

إذن الرباعي $ABDE$ متوازي أضلاع.