مجموعة تمارين الهندسة الرياضية

إصلاح سلسلة تمارين حول رباعيات الأضلاع - النسخة المتقدمة

1
المستطيل والمسقط العمودي
EFGH مستطيل حيث 8cm = EG و 3cm = FH. يتقاطع قطراه [EG] و [FH] في النقطة O. لتكن A المسقط العمودي لـ O على (EF) و B المسقط العمودي لـ O على (EH). بيّن أن الرباعي OAEB مستطيل واستنتج طول [AB].

الحل المفصل للتمرين 1

الخطوة 1: تحديد طبيعة الرباعي OAEB
  • بما أن A هي المسقط العمودي لـ O على (EF)، فإن الزاوية OÂE قائمة (90°).
  • بما أن B هي المسقط العمودي لـ O على (EH)، فإن الزاوية OÊE قائمة (90°).
  • بما أن EFGH مستطيل، فإن جميع زواياه قائمة، إذن الزاوية FÊH قائمة (90°).
خاصية: إذا كان لرباعي ثلاث زوايا قائمة، فإنه مستطيل.

الرباعي OAEB له ثلاث زوايا قائمة (في A، وB، وE)، إذن OAEB مستطيل.

الخطوة 2: استنتاج طول [AB]
خاصية: في المستطيل، يكون القطران متقايسين.
  • في المستطيل OAEB، القطران هما [AB] و [OE].
  • إذن، لدينا المساواة: AB = OE.
  • O هي منتصف القطر [EG]، إذن OE = EG / 2 = 8 / 2 = 4 cm.
AB = OE = 4 cm

بما أن AB = OE، نستنتج أن AB = 4 cm.

2
الموسط العمودي والمعين
ارسم قطعة مستقيم [IJ] طولها 6cm وابنِ (A) موّسطها العمودي. الدائرة التي مركزها I وشعاعها 4cm تقطع (A) في K و L. ما هي طبيعة الرباعي ILJK؟

الحل المفصل للتمرين 2

تطبيق خصائص الموسط العمودي
خاصية: كل نقطة تنتمي للموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.
  • بما أن K و L تنتميان لـ (A)، فإنهما متساويتا البعد عن I و J.
  • إذن KJ = KI و LJ = LI.
  • من خصائص الدائرة: KI = LI = 4cm.
  • إذن جميع أضلاع الرباعي ILJK متقايسة.
IL = LJ = JK = KI = 4cm

بما أن جميع أضلاع الرباعي متقايسة، فإن ILJK معين.

3
بناء المعين
ابنِ معيّنًا ABCD في كل حالة: 1. AB = 2 cm و BÂD = 120° 2. AC = 3 cm وقيس محيطه 16 cm

الحل المفصل للتمرين 3

الحالة 1: AB = 2 cm و BÂD = 120°
  1. نرسم قطعة مستقيم [AB] طولها 2 cm.
  2. باستخدام المنقلة، نرسم زاوية رأسها A وقياسها 120°.
  3. على الضلع الثاني للزاوية، نعين النقطة D بحيث يكون AD = 2 cm.
  4. نستخدم الفرجار لإيجاد النقطة C بحيث BC = CD = 2 cm.
الحالة 2: AC = 3 cm ومحيطه 16 cm
قانون محيط المعين: المحيط = 4 × طول الضلع.
  1. نحسب طول الضلع: 16 / 4 = 4 cm.
  2. نرسم القطر [AC] بطول 3 cm.
  3. نستخدم الفرجار بفتحة 4 cm لإيجاد النقطتين B و D.
طول الضلع = 16 ÷ 4 = 4 cm

النتيجة: معين بأضلاع 4 cm وقطر 3 cm.

4
شبه المنحرف والمربع
ارسم شبه منحرف ABCD قائم في A و D حيث AB = AD = 2 cm و CD = 4 cm. ثم ارسم النقطة H المسقط العمودي لـ B على (CD). بيّن أن الرباعي ABHD مربع.

الحل المفصل للتمرين 4

إثبات أن الرباعي ABHD مربع
  • بما أن (AD) ⊥ (DC) و (BH) ⊥ (DC)، فإن (AD) || (BH).
  • لدينا (AB) || (DC)، أي (AB) || (DH).
  • الرباعي ABHD متوازي أضلاع له زاوية قائمة، إذن مستطيل.
  • هذا المستطيل له ضلعان متتاليان متقايسان (AB = AD = 2 cm).
خاصية: المستطيل الذي له ضلعان متتاليان متقايسان هو مربع.

إذن الرباعي ABHD مربع.

حساب HC و زاوية HBC
  • بما أن ABHD مربع، فإن DH = AB = 2 cm.
  • HC = DC - DH = 4 - 2 = 2 cm.
  • المثلث HBC قائم ومتقايس الضلعين، إذن زاوية HBC = 45°.
HC = CD - DH = 4 - 2 = 2 cm
5
المثلث متقايس الضلعين والمعين
ABC مثلث متقايس الضلعين في A حيث AB = 6 cm و BÂC = 50°. عين النقطة D بحيث يكون ABCD متوازي أضلاع. بيّن أن ABEC معين حيث E على (CD) و (BE) || (AC).

الحل المفصل للتمرين 5

حساب زوايا المثلث ABC
∠ABC = ∠ACB = (180° - 50°) / 2 = 65°

زوايا القاعدة في المثلث متقايس الضلعين متساوية.

إثبات أن الرباعي ABEC معين
  • لدينا (BE) || (AC) و (AB) || (EC)، إذن ABEC متوازي أضلاع.
  • في هذا المتوازي أضلاع، لدينا AB = AC = 6 cm (ضلعان متتاليان متقايسان).
خاصية: متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.

إذن ABEC معين.

إثبات أن المثلث ADE قائم
  • من المعين ABEC: CE = AB = 6 cm.
  • من متوازي الأضلاع ABCD: DC = AB = 6 cm.
  • إذن C منتصف [ED]، والمتوسط AC = 6 cm = نصف DE.
خاصية عكسية: إذا كان طول المتوسط يساوي نصف طول الضلع المقابل، فالمثلث قائم.

إذن المثلث ADE قائم في A.

6
المثلث القائم والدائرة المحيطة
EFH مثلث قائم الزاوية في H حيث EF = 5cm و I مركز الدائرة المحيطة به. ما هي طبيعة المثلث HIF؟ بيّن أن FIHL معين.

الحل المفصل للتمرين 6

طبيعة المثلث HIF
خاصية: مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف وتره.
  • I مركز الدائرة المحيطة بالمثلث EFH، إذن I منتصف [EF].
  • المسافة من المركز إلى أي رأس متساوية: IH = IF = IE = 2.5 cm.
IH = IF = EF/2 = 5/2 = 2.5 cm

إذن المثلث HIF متقايس الضلعين في I.

إثبات أن E و K و G على استقامة واحدة
  • في المثلث HIF المتقايس الضلعين، الارتفاع [IK] هو أيضا متوسط.
  • إذن K منتصف [HF].
  • في المستطيل EFGH، القطران يتقاطعان في منتصفهما.
  • بما أن K منتصف [HF]، فإن القطر [EG] يمر بـ K.

إذن E و K و G على استقامة واحدة.

إثبات أن FIHL معين
  • المستقيم (IK) هو الموسط العمودي لـ [HF].
  • كل نقطة على الموسط العمودي متساوية البعد عن طرفي القطعة.
  • بتطبيق خصائص الموسط العمودي والمتوازي أضلاع.

نستنتج أن FIHL معين.

7
متوازي الأضلاع والمربع
AECF متوازي أضلاع حيث 45° = ÂEC و D منتصف [EC] و (AD) ⊥ (EC). بيّن أن AC = AE واستنتج أن ABCD مربع.

الحل المفصل للتمرين 7

إثبات أن AC = AE
خاصية الموسط العمودي: كل نقطة تنتمي للموسط العمودي تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
  • (AD) يمر من D منتصف [EC] ويعامد (EC)، إذن هو الموسط العمودي لـ [EC].
  • A تنتمي للموسط العمودي، إذن متساوية البعد عن E و C.

إذن AC = AE.

استنتاج أن ED = AD
  • في المثلث ADE القائم في D، AÊD = 45°.
  • إذن EÂD = 180° - 90° - 45° = 45°.
  • المثلث ADE متقايس الضلعين، إذن AD = ED.
∠EAD = 180° - 90° - 45° = 45°
إثبات أن ABCD مربع
  • ABCD متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان (AD = DC)، إذن معين.
  • هذا المعين له زاوية قائمة (في D)، إذن مربع.
  • من خصائص المربع: قطراه متقايسان، إذن DB = AC = AE.

إذن ABCD مربع و EA = DB.