سلسلة تمارين تفاعلية: الرباعيات الخاصة

1

خصائص المستطيل

$$EFGH$$ مستطيل حيث $$EG = 8\text{cm}$$. يتقاطع قطراه $$[EG]$$ و $$[FH]$$ في النقطة $$O$$. لتكن $$A$$ المسقط العمودي لـ $$O$$ على $$(EF)$$ و $$B$$ المسقط العمودي لـ $$O$$ على $$(EH)$$.

المطلوب: بيّن أن الرباعي $$OAEB$$ مستطيل واستنتج طول $$[AB]$$.

لم تبدأ بعد

مؤشر

لإثبات أن رباعياً ما هو مستطيل، يكفي إثبات أن له 3 زوايا قائمة. لحساب طول $$[AB]$$، تذكر أن $$[AB]$$ هو قطر في المستطيل الصغير $$OAEB$$. ما هو القطر الآخر؟ وكيف يمكن حساب طوله؟

الطريقة

  1. استخدم تعريف "المسقط العمودي" و"المستطيل" لإثبات أن الزوايا في $$A$$, $$B$$, و $$E$$ كلها قائمة. استنتج أن $$OAEB$$ مستطيل.
  2. طبّق خاصية "تقايس قطري المستطيل" على المستطيل $$OAEB$$ لتستنتج أن $$AB = OE$$.
  3. طبّق خاصية "منتصف القطر" على المستطيل الكبير $$EFGH$$ لحساب طول $$OE$$.
  4. اربط النتيجتين لاستنتاج طول $$AB$$.

الحل الكامل

1. إثبات أن $$OAEB$$ مستطيل:

  • لأن $$A$$ مسقط عمودي على $$(EF)$$, فإن $$\angle OAE = 90^\circ$$.
  • لأن $$B$$ مسقط عمودي على $$(EH)$$, فإن $$\angle OBE = 90^\circ$$.
  • لأن $$EFGH$$ مستطيل, فإن $$\angle FEH = 90^\circ$$.
خاصية: إذا كان لرباعي ثلاث زوايا قائمة، فإنه مستطيل.

إذن، $$OAEB$$ مستطيل.

2. استنتاج طول $$[AB]$$:

خاصية: قطرا المستطيل متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما.

في المستطيل الصغير $$OAEB$$, القطران هما $$[AB]$$ و $$[OE]$$. إذن $$AB = OE$$.

في المستطيل الكبير $$EFGH$$, النقطة $$O$$ هي منتصف القطر $$[EG]$$.

ومنه $$OE = EG / 2 = 8 / 2 = 4\text{cm}$$.

بما أن $$AB = OE$$، فإن $$AB = 4\text{cm}$$.

2

المعين والموسط العمودي

$$(KL)$$ هو الموسط العمودي للقطعة $$[IJ]$$.

المطلوب: بيّن أن الرباعي $$IKJL$$ معين.

لم تبدأ بعد

مؤشر

المعطى يتحدث عن علاقة بين قطري الرباعي $$IKJL$$. ما هي الخاصية التي تميز أقطار المعين عن أقطار باقي الرباعيات؟

الطريقة

تنبيه: النص الأصلي غير كامل. لنفترض أن المعطى الكامل هو أن كل مستقيم هو الموسط العمودي للقطعة الأخرى.

الاستراتيجية الأقوى هنا هي استخدام خصائص الأقطار:

  1. استنتج علاقة التعامد بين القطرين من تعريف الموسط العمودي.
  2. استنتج أن القطرين ينصف كل منهما الآخر من نفس التعريف.
  3. اجمع الخاصيتين لتستنتج طبيعة الرباعي.

الحل الكامل

البرهان باستخدام خصائص الأقطار:

قطرا الرباعي $$IKJL$$ هما $$[IJ]$$ و $$[KL]$$.

خاصية: الرباعي الذي قطراه متعامدان وينصف كل منهما الآخر هو معين.
  • التعامد: بما أن $$(KL)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[IJ]$$, فإن $$(KL) \perp (IJ)$$. ✅
  • تنصيف متبادل: تعريف الموسط العمودي يعني أن $$(KL)$$ يمر بمنتصف $$[IJ]$$. والفرضية المضافة تعني أن $$(IJ)$$ يمر بمنتصف $$[KL]$$. إذن القطران ينصف كل منهما الآخر. ✅

بما أن قطري الرباعي $$IKJL$$ متعامدان وينصف كل منهما الآخر، فإن $$IKJL$$ معين.

3

بناء المربع

$$AECF$$ متوازي أضلاع حيث $$\angle AEC = 45^\circ$$ و $$D$$ منتصف $$[EC]$$ و $$(AD) \perp (EC)$$.

  1. بيّن أن $$AC = AE$$.
  2. استنتج أن $$ED = AD$$.
  3. (باعتبار $$ABCD$$ متوازي أضلاع) بيّن أنه مربع واستنتج أن $$EA = DB$$.
  4. بيّن أن $$ABDE$$ متوازي أضلاع.
لم تبدأ بعد

مؤشر

المفتاح في هذا التمرين هو المثلث $$ADE$$. ما هي طبيعته؟ بما أنك تعرف إحدى زواياه (القائمة) وواحدة أخرى ($$45^\circ$$)، يمكنك حساب الثالثة واستنتاج شيء مهم عن أضلاعه.

الطريقة

  1. لـ 1: أثبت أن $$(AD)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[EC]$$ واستنتج تقايس الأضلاع.
  2. لـ 2: ادرس المثلث $$ADE$$. احسب زواياه واستنتج أنه متقايس الضلعين.
  3. لـ 3: لإثبات أن $$ABCD$$ مربع، أثبت أولاً أنه معين (باستخدام $$AD=DC$$) ثم أثبت أن به زاوية قائمة (باستخدام $$\angle BCD = 2 \times \angle ACD$$).
  4. لـ 4: استعمل إحدى الخاصيتين: الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى، أو الأضلاع المتقابلة متوازية مثنى مثنى.

الحل الكامل

  1. بيّن أن $$AC = AE$$:
    بما أن $$(AD)$$ يمر من منتصف $$[EC]$$ وعمودي عليه، فهو الموسط العمودي لـ $$[EC]$$. وبما أن $$A$$ تنتمي إليه، فإن $$AC = AE$$.
  2. استنتج أن $$ED = AD$$:
    في المثلث $$ADE$$ القائم في $$D$$, لدينا $$\angle AED = 45^\circ$$. إذن $$\angle EAD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. المثلث له زاويتان متقايستان فهو متقايس الضلعين في $$D$$, إذن $$ED = AD$$.
  3. بيّن أن $$ABCD$$ مربع:
    إثبات أنه معين: $$ABCD$$ متوازي أضلاع. لدينا $$AD = ED$$ و $$D$$ منتصف $$[EC]$$ إذن $$ED = DC$$. بالنتيجة $$AD=DC$$. متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
    إثبات أنه مربع: في المعين, القطر $$[AC]$$ منصف للزاوية $$\angle BCD$$. لدينا $$\angle ACD = 45^\circ$$. إذن $$\angle BCD = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$$. معين به زاوية قائمة هو مربع. إذن $$ABCD$$ مربع.

    استنتاج: قطرا المربع متقايسان ($$DB=AC$$). وبما أن $$AC=EA$$, فإن $$EA = DB$$.

  4. بيّن أن $$ABDE$$ متوازي أضلاع:
    الطريقة الأولى (أضلاع متقابلة متقايسة مثنى مثنى): المثلث $$AEC$$ متقايس الضلعين في $$A$$ إذن $$AE = AC$$؛ و $$ABCD$$ مربع إذن $$BD = AC$$، ومنه $$AE = BD$$. ولدينا $$AB = DC$$ (المربع) و $$ED = DC$$ ($$D$$ منتصف $$[EC]$$)، ومنه $$AB = ED$$.
    الطريقة الثانية (أضلاع متقابلة متوازية مثنى مثنى): في المثلث المتقايس الضلعين $$AEC$$، $$\widehat{AEC} = \widehat{ACE} = 45^\circ$$ إذن $$\widehat{EAC} = 90^\circ$$ أي $$(AE) \perp (AC)$$؛ وقطرا المربع متعامدان أي $$(BD) \perp (AC)$$، ومنه $$(AE) \parallel (BD)$$. ولدينا $$(AB) \parallel (DC) = (ED)$$.
    في الحالتين $$ABDE$$ متوازي أضلاع.