اختبار الهندسة: المثلث متقايس الضلعين

1. ما هو تعريف المثلث متقايس الضلعين؟
أ) مثلث له ثلاثة أضلاع متساوية
ب) مثلث له ضلعان متساويان
ج) مثلث له زاوية قائمة
د) مثلث له ثلاث زوايا متساوية
الشرح:

الإجابة الصحيحة هي: ب) مثلث له ضلعان متساويان

المثلث متقايس الضلعين هو مثلث يحتوي على ضلعين متساويين في الطول. هذان الضلعان المتساويان يسميان "الساقين"، أما الضلع الثالث فيسمى "القاعدة".

في المثلث متقايس الضلعين، إذا سمينا الأضلاع a و b و c، حيث a و b هما الساقان و c هي القاعدة، فإن: a = b

2. ما هي خاصية الزوايا في المثلث متقايس الضلعين؟
أ) جميع الزوايا متساوية
ب) الزاويتان المقابلتان للساقين متساويتان
ج) إحدى الزوايا قائمة دائمًا
د) مجموع الزوايا يساوي 90 درجة
الشرح:

الإجابة الصحيحة هي: ب) الزاويتان المقابلتان للساقين متساويتان

في المثلث متقايس الضلعين، تكون الزاويتان عند قاعدة المثلث متساويتين. هاتان الزاويتان هما المقابلتان للساقين المتساويين.

إذا كانت الزاويتان عند قاعدة المثلث هما α و β، والزاوية عند رأس المثلث (المقابلة للقاعدة) هي γ، فإن: α = β

وبما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، فإن: α + β + γ = 180°، أي 2α + γ = 180°

3. ما هو محور التناظر في المثلث متقايس الضلعين؟
أ) المتوسط المرسوم من رأس المثلث إلى منتصف القاعدة
ب) المنصف العمودي للقاعدة
ج) الارتفاع المرسوم من رأس المثلث إلى القاعدة
د) جميع الإجابات السابقة صحيحة
الشرح:

الإجابة الصحيحة هي: د) جميع الإجابات السابقة صحيحة

في المثلث متقايس الضلعين، يكون المتوسط المرسوم من رأس المثلث إلى منتصف القاعدة هو نفسه المنصف العمودي للقاعدة وهو نفسه الارتفاع المرسوم من رأس المثلث إلى القاعدة، وهو أيضًا نفسه منصف زاوية الرأس.

هذا الخط يمثل محور تماثل للمثلث متقايس الضلعين، حيث يقسمه إلى نصفين متطابقين. أي نقطة على يمين هذا المحور لها نقطة مقابلة مطابقة تماماً على يساره.

5. ما هي مساحة المثلث متقايس الضلعين الذي طول قاعدته 6 سم وطول ساقه 5 سم؟
أ) 12 سم²
ب) 15 سم²
ج) 8 سم²
د) 10 سم²
الشرح:

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

6. إذا كانت زاوية الرأس في المثلث متقايس الضلعين تساوي 40 درجة، فما هو قياس كل من الزاويتين الأخريين؟
أ) 60 درجة لكل منهما
ب) 70 درجة لكل منهما
ج) 50 درجة لكل منهما
د) 80 درجة لكل منهما
الشرح:

الإجابة الصحيحة هي: ب) 70 درجة لكل منهما

في المثلث متقايس الضلعين، تكون الزاويتان عند القاعدة متساويتين. وبما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، يمكننا حساب قياس هاتين الزاويتين كالتالي:

إذا كانت زاوية الرأس = 40 درجة

ومجموع زوايا المثلث = 180 درجة

فإن مجموع الزاويتين الأخريين = 180 - 40 = 140 درجة

وبما أن الزاويتين متساويتين، فإن قياس كل منهما = 140 ÷ 2 = 70 درجة

7. ما هي خاصية منصف زاوية الرأس في المثلث متقايس الضلعين؟
أ) يقسم القاعدة إلى قسمين متساويين
ب) يكون موازيًا للقاعدة
ج) يكون مائلًا على القاعدة بزاوية 45 درجة
د) يقسم المثلث إلى مثلثين مختلفين في المساحة
الشرح:

الإجابة الصحيحة هي: أ) يقسم القاعدة إلى قسمين متساويين

في المثلث متقايس الضلعين، منصف زاوية الرأس له خصائص مميزة:

  • يكون عموديًا على القاعدة
  • يقسم القاعدة إلى قسمين متساويين
  • يكون هو نفسه الارتفاع من الرأس إلى القاعدة
  • يكون هو نفسه المنصف العمودي للقاعدة
  • يكون هو نفسه محور التناظر للمثلث

هذه الخاصية تنتج من التماثل الموجود في المثلث متقايس الضلعين.

8. إذا كان المثلث متساوي الساقين وكانت قاعدته 10 سم وارتفاعه 12 سم، فما هو طول ساقه؟
أ) 11 سم
ب) 13 سم
ج) 15 سم
د) 17 سم
الشرح:

✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.

9. ما هو محيط المثلث متقايس الضلعين الذي طول قاعدته 8 سم وطول ساقه 6 سم؟
أ) 14 سم
ب) 18 سم
ج) 20 سم
د) 24 سم
الشرح:

الإجابة الصحيحة هي: ج) 20 سم

محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه. في المثلث متقايس الضلعين، يكون لدينا ضلعان متساويان (الساقان) وضلع ثالث (القاعدة).

لحساب المحيط:

P = 2s + b
P = 2 × 6 + 8
P = 12 + 8
P = 20 سم

حيث P هو المحيط، s هو طول الساق، و b هو طول القاعدة.

10. ما هي خاصية الدوائر في المثلث متقايس الضلعين مقارنة بالمثلث غير المنتظم؟
أ) المركز المحيطي يقع دائمًا داخل المثلث
ب) المركز المحاطي يقع دائمًا على محور التناظر
ج) نصف قطر الدائرة المحيطة يساوي دائمًا طول الساق
د) لا توجد خصائص مميزة للدوائر في المثلث متقايس الضلعين
الشرح:

الإجابة الصحيحة هي: ب) المركز المحاطي يقع دائمًا على محور التناظر

في المثلث متقايس الضلعين، توجد خصائص مميزة متعلقة بالدوائر:

  • المركز المحاطي (مركز الدائرة المماسة داخليًا لأضلاع المثلث) يقع دائمًا على محور التناظر للمثلث، وهو خط ينصف زاوية الرأس ويكون عموديًا على القاعدة.
  • المركز المحيطي (مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث) يقع أيضًا على محور التناظر.
  • محور التناظر في المثلث متقايس الضلعين يحتوي على المركز المحيطي والمركز المحاطي ومركز الثقل ومركز الارتفاعات (نقطة تقاطع الارتفاعات).

هذا مختلف عن المثلث غير المنتظم، حيث لا تقع هذه المراكز بالضرورة على خط واحد.