مراجعة الهندسة: المثلثات والتناظر — تمرين عدد 4

نظام 3 خطوات تصحيحية

السؤال 1 — حساب زاوية ABC
مثلث $ABC$ قائم في $A$، $CB=5$ cm، $\widehat{ACB}=40°$. احسب $\widehat{ABC}$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

في المثلث القائم في $A$: مجموع الزاويتين الحادتين = 90°.

📝 الطريقة

$\widehat{ABC} = 90° - \widehat{ACB} = 90° - 40°$

✅ الحل الكامل

$\widehat{ABC} = 90° - 40° = \mathbf{50°}$. ✓
السؤال 2 — التناظر والمثلث المتساوي
أ. ابنِ $M$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ$(AC)$.
ب. حدد مناظرة الزاوية $\widehat{ACM}$ بالنسبة لـ$(AC)$.
ج. بيّن أن المثلث $BMC$ متقايس الضلعين.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $B$ قائم في $A$ → $(AB) \perp (AC)$ → المسقط العمودي من $B$ على $(AC)$ يمر من $A$.

• التناظر المحوري يحافظ على الأبعاد → $CB = CM$.

📝 الطريقة

أ. $M$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ$(AC)$: ارسم عموداً من $B$ على $(AC)$، نقطة التقاطع هي $A$، ثم $M$ بحيث $A$ منتصف $[BM]$.

ب. $C \in (AC)$ → مناظرتها $C$. $B \to M$ → مناظرة $\widehat{ACB}$ هي $\widehat{ACM}$.

ج. $CB = CM$ (التناظر) → $BMC$ متساوي الساقين.

✅ الحل الكامل

أ. $(AC) \perp (AB)$ في $A$ → $A$ هو مسقط $B$ على $(AC)$. $M$ على $(AC)$ بحيث $AM = AB$... (بالضبط: $M$ مناظرة $B$ بالنسبة للمحور $(AC)$). ✓ب. مناظرة $\widehat{ACM}$ بالنسبة لـ$(AC)$ هي $\widehat{ACB}$. ✓ج. التناظر المحوري يحافظ على المسافات → $CM = CB = 5$ cm. إذن $BMC$ متقايس الضلعين في $C$ ($CM=CB$). ✓
السؤال 3 — مركز الدائرة المحاطة وحساب الزوايا
منصف $\widehat{MBC}$ يقطع $[AC]$ في $I$.
أ. بيّن أن $I$ مركز الدائرة $\mathscr{C}$ المحاطة بالمثلث $BMC$.
ج. احسب $\widehat{BIC}$. د. احسب $\widehat{CMI}$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $BMC$ متساوي الساقين ($CB=CM$) → $(AC)$ محور التناظر → منصف زاوية $C$.

• $I$ = تقاطع منصف $B$ ومنصف $C$ → مركز الدائرة المحاطة.

• $\widehat{IBC} = 50°÷2 = 25°$، $\widehat{ICB} = 40°$ (لأن $(AC)$ منصف $\widehat{BCM}$ و$\widehat{BCM}=80°$). $\widehat{BIC} = 180° - 25° - 40°$...

📝 الطريقة

أ. $BMC$ متساوي الساقين → $(AC)$ محور تناظر → منصف زاوية $C$. $I$ = تقاطع منصفَي $B$ و$C$ → مركز الدائرة المحاطة.

ج. $\widehat{IBC}=25°$، $\widehat{ICB}=40°$ → $\widehat{BIC}=180°-65°=115°$.

د. $I$ على منصف $\widehat{BCM}$ والمثلث متساوي الساقين → $\widehat{CMI}=\widehat{IBC}=25°$.

✅ الحل الكامل

أ. $BMC$ متساوي الساقين ($CB=CM$) → $(AC)$ موسط عمودي لـ$[BM]$ = منصف زاوية $C$. $I$ = تقاطع منصفَي $\widehat{MBC}$ و$\widehat{BCM}$ → $I$ مركز الدائرة المحاطة بـ$BMC$. ✓ج. $\widehat{IBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=25°$، $\widehat{ICB}=40°$ → $\widehat{BIC}=180°-25°-40°=\mathbf{115°}$. ✓د. $I$ مركز الدائرة المحاطة بالمثلث المتساوي الساقين → $\widehat{CMI}=\widehat{IBC}=\mathbf{25°}$. ✓
السؤال 4 — مثلث قائم وتوازٍ
أ. ابنِ $N$ بحيث $C$ منتصف $[MN]$. بيّن أن $CN=5$ cm.
ب. احسب $\widehat{BCN}$ ثم استنتج $\widehat{CBN}=40°$.
ج. بيّن أن المثلث $MBN$ قائم في $B$.
د. ابنِ $[Cu)$ منصف $\widehat{BCN}$. بيّن أن $(Cu)//(AB)$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $C$ منتصف $[MN]$ → $CN=CM=CB=5$ cm.

• $M, C, N$ على استقامة → $\widehat{BCN}=180°-\widehat{BCM}$.

• $\widehat{MBN} = \widehat{MBC}+\widehat{CBN}$. إذا كان مجموعهما $90°$...

✍️ إصلاح السؤال (د) سيُدرَج لاحقًا.

📝 الطريقة

أ. $CN=CM=CB=5$ cm. ب. $\widehat{BCN}=180°-\widehat{BCM}=180°-80°=100°$. في $BCN$ متساوي الساقين: $\widehat{CBN}=(180°-100°)/2=40°$. ج. $\widehat{MBN}=50°+40°=90°$. ✍️ إصلاح السؤال (د) سيُدرَج لاحقًا.

✅ الحل الكامل

أ. $CN=CM=CB=5$ cm (مناظرة + متساوي الساقين). ✓ب. $\widehat{BCN}=180°-80°=100°$. $BCN$ متساوي الساقين → $\widehat{CBN}=(180°-100°)/2=\mathbf{40°}$. ✓ج. $\widehat{MBN}=\widehat{MBC}+\widehat{CBN}=50°+40°=90°$ → $MBN$ قائم في $B$. ✓✍️ إصلاح السؤال (د) سيُدرَج لاحقًا.