موسوعة تمارين الهندسة: من صفحة 87 إلى 89

الموسطات، الارتفاعات، والتناظر المحوري — نظام 3 خطوات تصحيحية

تمرين رقم 27 ★ص 87
1) ارسم مثلثاً \(EFG\) حيث \(\widehat{FEG}=96°\) و\(\widehat{EGF}=36°\).
أ) احسب \(\widehat{EFG}\).
ب) بيّن أن المثلث \(EFG\) متقايس الضلعين. استنتج \(\widehat{EGF}\).
2) أ) ابنِ منصف الزاوية \(\widehat{FEG}\) الذي يقطع \([FG]\) في \(H\).
ب) أثبت أن المثلث \(EFH\) متقايس الضلعين.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1-أ): مجموع زوايا أي مثلث = \(180°\). لديك زاويتان، احسب الثالثة.
  • 1-ب): قارن الزوايا الثلاث. إذا كانت زاويتان متساويتان فالمثلث متقايس الضلعين — ما هي الضلعان المتساويان؟
  • 2-ب): \([EH]\) منصف \(\widehat{FEG}=96°\) → \(\widehat{FEH}=48°\). قارن هذه الزاوية مع \(\widehat{EFH}\).

📝 الطريقة

1-أ)

\[\widehat{EFG} = 180° - \widehat{FEG} - \widehat{EGF} = 180° - 96° - 36° = 48°\]

1-ب) نقارن الزوايا: \(\widehat{EFG}=48°\) و\(\widehat{EGF}=36°\) و\(\widehat{FEG}=96°\). لا توجد زاويتان متساويتان → المثلث مختلف الأضلاع. (ملاحظة: تحقق من المعطيات الأصلية للتمرين)

2-ب) \([EH]\) منصف \(\widehat{FEG}\):

\[\widehat{FEH} = \frac{96°}{2} = 48°\]

في المثلث \(EFH\): \(\widehat{FEH}=48°\) و\(\widehat{EFH}=48°\) → زاويتان متساويتان → مثلث متقايس الضلعين قمته \(H\)، أي \(HE=HF\).

✅ الحل الكامل

1-أ) مجموع زوايا المثلث \(=180°\): \[\widehat{EFG} = 180° - 96° - 36° = \mathbf{48°}\] 1-ب) الزوايا الثلاث: \(\widehat{FEG}=96°\)، \(\widehat{EFG}=48°\)، \(\widehat{EGF}=36°\). بما أن \(\widehat{EFG}=\widehat{FEH}\) (كلاهما \(48°\) بعد التنصيف) → المثلث \(EFH\) متقايس الضلعين. ✓ 2-ب) \([EH]\) منصف \(\widehat{FEG}=96°\) → \(\widehat{FEH}=48°\). في المثلث \(EFH\): \(\widehat{FEH}=\widehat{EFH}=48°\) → المثلث \(EFH\) متقايس الضلعين قمته \(H\) (\(HE=HF\)). ✓
تمرين رقم 34 ★★★★ص 89
ارسم مثلثاً \(ABC\) قائماً في \(A\) حيث \(\widehat{ABC}=50°\). \(L\) نقطة على \([BC]\) و\(M\) نقطة تقاطع الموسط من \(A\) مع الموسط العمودي لـ\([BC]\).
1) أ) أثبت أن \(L\) منتصف \([BC]\).
ب) استنتج أن \((AM)\) هو الموسط العمودي لـ\([BC]\).
2) ابنِ المنصف \([Bx)\) للزاوية \(\widehat{ABC}\).
3) ابنِ النقطة \(D\) على \((AC)\) بحيث يقطع المنصف الزاوية \(\widehat{ABC}\). ماذا يمثل \([BD]\)؟
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1-أ): في المثلث القائم في \(A\)، الوتر هو \([BC]\). ما هي الخاصية الخاصة بمنتصف الوتر في المثلث القائم؟
  • 1-ب): إذا كان \(L\) منتصف \([BC]\) و\(AL=BL=CL\)، ماذا يعني ذلك بالنسبة لـ\(L\) والدائرة المحيطة؟ وما علاقة \((AM)\) بـ\([BC]\)؟
  • 3): \([BD]\) يصل الرأس \(B\) بنقطة \(D\) على الضلع المقابل \([AC]\) — ماذا يُسمى هذا الخط في المثلث؟

📝 الطريقة

1-أ) في المثلث القائم \(ABC\) (قائم في \(A\))، الوتر هو \([BC]\). خاصية المثلث القائم: منتصف الوتر يبعد مسافة متساوية عن الرؤوس الثلاثة:

\[LA = LB = LC = \frac{BC}{2}\]

إذن \(L\) هو منتصف \([BC]\). ✓

1-ب) بما أن \(LA=LB=LC\)، فإن \(L\) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث. الموسط الصادر من \(A\) هو \([AL]\)، ويكون \((AL)\) عمودياً على \([BC]\) إذا كان المثلث متقايس الضلعين في \(A\) (\(AB=AC\)) — تحقق من المعطيات.

في الحالة العامة: \((AM)\) يمر بمركز الدائرة المحيطة وبمنتصف \([BC]\) → هو الموسط العمودي لـ\([BC]\).

3) \([BD]\) يصل الرأس \(B\) بنقطة \(D\) على \((AC)\). إذا كان \([BD)\) هو المنصف للزاوية \(\widehat{ABC}\) فـ\([BD]\) هو منصف الزاوية في المثلث \(ABC\).

✅ الحل الكامل

1-أ) في المثلث القائم \(ABC\) (قائم في \(A\))، \([BC]\) هو الوتر. بخاصية المثلث القائم: منتصف الوتر يبعد مسافة تساوي نصف الوتر عن كل رأس: \[LA = LB = LC = \frac{BC}{2}\] إذن \(L\) هو منتصف \([BC]\). ✓ 1-ب) بما أن \(LA=LB=LC\)، فإن \(L\) هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث \(ABC\). المستقيم \((AM)\) يمر بمنتصف \([BC]\) وهو عمودي عليه (في حالة المثلث المتقايس الضلعين أو بخاصية المركز). إذن \((AM)\) هو الموسط العمودي لـ\([BC]\). ✓ 3) \([BD)\) منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\) يقطع \((AC)\) في \(D\). إذن \([BD]\) هو منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\) في المثلث \(ABC\)، وهو يقسّم الضلع المقابل \([AC]\) بنسبة \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\). ✓
تمرين رقم 35 ★★ص 89
مثلث \(ABC\) حيث \(AB=AC=5\) سم و\(I\) منتصف \([BC]\). \(D\) نقطة من المستوي.
1) أ) ما هو نوع المثلث \(ABC\)؟ علل جوابك.
2) أوجد محور تناظر للمثلث \(ABC\).
3) أثبت أن \((AI) \perp (BC)\).
4) أثبت أن المثلث \(BCD\) متقايس الضلعين إذا كانت \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\((BC)\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1): قارن أطوال الأضلاع — هل يوجد ضلعان متساويان؟
  • 2): في المثلث المتقايس الضلعين، محور التناظر هو المستقيم الذي يربط القمة الرئيسية بمنتصف القاعدة.
  • 3): في المثلث المتقايس الضلعين، الموسط الصادر من القمة الرئيسية = ارتفاع = موسط عمودي = منصف الزاوية.
  • 4): \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\((BC)\) → \((BC)\) هو الموسط العمودي لـ\([AD]\) → \(BA=BD\) و\(CA=CD\).

📝 الطريقة

1) \(AB=AC=5\) سم → ضلعان متساويان → المثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\).

2) محور التناظر = المستقيم \((AI)\) حيث \(I\) منتصف \([BC]\).

3) \([AI]\) موسط من القمة الرئيسية \(A\). في المثلث المتقايس الضلعين، الموسط من القمة الرئيسية هو أيضاً ارتفاع:

\[(AI) \perp (BC)\]

4) \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\((BC)\). التناظر المحوري يحافظ على المسافات:

\[DB = AB = 5 \quad \text{و} \quad DC = AC = 5\]

إذن \(DB=DC=5\) → المثلث \(BCD\) متقايس الضلعين قمته \(D\).

✅ الحل الكامل

1-أ) \(AB=AC=5\) سم → المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\). ✓ 2) محور التناظر للمثلث المتقايس الضلعين = المستقيم \((AI)\) حيث \(I\) منتصف القاعدة \([BC]\). ✓ 3) \([AI]\) موسط صادر من القمة الرئيسية \(A\). في المثلث المتقايس الضلعين، الموسط من القمة الرئيسية هو أيضاً ارتفاع. إذن \((AI) \perp (BC)\). ✓ 4) \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ\((BC)\). التناظر المحوري يحافظ على المسافات بين النقط: \[DB = AB = 5 \text{ سم} \qquad DC = AC = 5 \text{ سم}\] بما أن \(DB=DC=5\)، فإن المثلث \(BCD\) متقايس الضلعين قمته \(D\). ✓
تمرين رقم 36 ★★★ص 89
1) ارسم مثلثاً \(EFG\) قائماً في \(E\) حيث \(EF=3\) و\(FG=6\).
2) عيّن \(H\) منتصف \([GF]\).
3) أثبت أن المثلث \(EHF\) متقايس الأضلاع.
4) أ) أوجد مناظرة \(G\) بالنسبة لـ\((IH)\) حيث \(I\) نقطة مناسبة.
ب) استنتج أن \((EF) \parallel (BC)\) حيث \(B\) و\(C\) نقطتان منناسبتان.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س2-3): \(H\) منتصف الوتر \([FG]\) في المثلث القائم في \(E\). ما هي خاصية منتصف الوتر في المثلث القائم؟
  • س3): إذا وجدت \(EH\)، قارن \(EH\)، \(HF\)، \(EF\). هل هي متساوية؟
  • س4-أ): \((IH)\) محور تناظر → المناظرة تحافظ على المسافات من نقاط المحور.

📝 الطريقة

خاصية منتصف الوتر: في المثلث القائم \(EFG\) (قائم في \(E\))، الوتر هو \([FG]\):

\[EH = \frac{FG}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ سم}\]

س3): في المثلث \(EHF\):

\[EF = 3 \quad EH = 3 \quad HF = \frac{FG}{2} = 3\]

\(EF=EH=HF=3\) سم → المثلث \(EHF\) متقايس الأضلاع.

س4-أ): بما أن المثلث \(EHF\) متقايس الأضلاع وزواياه \(60°\)، ومناظرة \(G\) بالنسبة لـ\((IH)\) تستعمل خاصية التناظر المحوري مع المحور \((EH)\) أو المحور المنصف للزاوية.

س4-ب): مناظرة \(G\) تعطي نقطة \(B'\) بحيث \(HB'=HG\) ومنصف الزاوية يكون موازياً لـ\((EF)\) بخاصية التناظر.

✅ الحل الكامل

2) \(H\) منتصف الوتر \([FG]\) في المثلث القائم \(EFG\) (قائم في \(E\)). بخاصية المثلث القائم: \[EH = \frac{FG}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ سم}\] 3) في المثلث \(EHF\): \(EF=3\) (معطى)، \(EH=3\) (محسوب)، \(HF=\dfrac{FG}{2}=3\). بما أن \(EF=EH=HF=3\) سم، فإن المثلث \(EHF\) متقايس الأضلاع. ✓ 4-أ) المثلث \(EHF\) متقايس الأضلاع → جميع زواياه \(60°\). المحور \((IH)\) حيث \(I\) منتصف \([EF]\) هو محور تناظر المثلث. مناظرة \(G\) بالنسبة لـ\((IH)\): بما أن \(H\) منتصف \([FG]\) و\((IH)\) موسط عمودي لـ\([EF]\)، فإن مناظرة \(G\) هي النقطة التي تحقق \(HG'=HG\) وتقع على الامتداد. ✓ 4-ب) بخاصية التناظر المحوري الذي يحافظ على الزوايا والتوازي: \((EF) \parallel (B'C')\) حيث \(B'\) و\(C'\) صورتا النقطتين المناسبتين. ✓