نظام 3 خطوات تصحيحية
• كل أضلاع \(OA, OB, OC, OD\) هي أنصاف أقطار للدائرة → كلها متساوية.
• إذن كل مثلث من الشكل \((OAB, OBC, OCD...)\) هو متقايس الضلعين في \(O\).
• في المثلث متقايس الضلعين: الزاويتان عند القاعدة متساويتان.
• استعمل مجموع زوايا المثلث = 180° لإيجاد كل زاوية.
خطوة 1: في المثلث \(OAB\) المتقايس الضلعين في \(O\):
\(\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 30°\) ← إذن \(\widehat{AOB} = 180° - 60° = 120°\).
خطوة 2: إذا كانت الزاوية \(\widehat{BOC}\) معروفة من الرسم (مثلاً 60°):
في المثلث \(OBC\) المتقايس الضلعين في \(O\):
\(\widehat{OBC} = \widehat{OCB} = \dfrac{180° - \widehat{BOC}}{2}\)
خطوة 3: \(\widehat{DOC}\) تُحسب من الزوايا المحيطة بـ\(O\) أو من الزوايا المتممة.
• أ) منصفات زوايا المثلث الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة فقط.
• \(I\) = تقاطع منصفَي \(B\) و\(C\) → ما هو المنصف الثالث الذي يجب أن يمر بـ\(I\)؟
• ب) في المثلث \(IBC\)، الزاويتان عند \(B\) و\(C\) هما نصفا الزاويتين \(\widehat{ABC}\) و\(\widehat{ACB}\).
أ) خاصية منصفات زوايا المثلث: تتقاطع في نقطة واحدة = مركز الدائرة المحاطة.
بما أن \(I\) = تقاطع المنصفَين عند \(B\) و\(C\)، فهي بالضرورة على المنصف عند \(A\) وهو \([Ax)\).
ب) نحسب \(\widehat{BAC}\) أولاً:
\[\widehat{BAC} = 180° - 68° - 42° = 70°\]
في المثلث \(IBC\):
\(\widehat{IBC} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}\) و \(\widehat{ICB} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)
\(\widehat{BIC} = 180° - \widehat{IBC} - \widehat{ICB}\)
أو نستعمل مباشرة: \(\widehat{BIC} = 90° + \dfrac{\widehat{BAC}}{2}\)
أ) إثبات \(I \in [Ax)\):
بخاصية منصفات زوايا المثلث: منصفات الزوايا الداخلية الثلاثة لأي مثلث تتقاطع في نقطة واحدة (مركز الدائرة المحاطة). بما أن \(I\) = تقاطع منصفَي الزاويتين عند \(B\) و\(C\)، فإنها بالضرورة تقع على المنصف الثالث وهو \([Ax)\) منصف الزاوية عند \(A\). إذن \(I \in [Ax)\). ✓ب) حساب \(\widehat{BIC}\):
\(\widehat{BAC} = 180° - 68° - 42° = 70°\). \(\widehat{IBC} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2} = \dfrac{68°}{2} = 34°\) \(\widehat{ICB} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2} = \dfrac{42°}{2} = 21°\) \[\widehat{BIC} = 180° - (34° + 21°) = 180° - 55° = \mathbf{125°}\] ✓ تحقق بالصيغة المباشرة: \(\widehat{BIC} = 90° + \dfrac{70°}{2} = 90° + 35° = 125°\) ✓• س1: مجموع زوايا المثلث = 180°.
• \(\widehat{IAB}\): \([AH]\) ارتفاع → \(\widehat{AHB}=90°\). احسب \(\widehat{BAH}\) في المثلث \(ABH\) القائم في \(H\).
• \(\widehat{ABD}\): \([BD)\) منصف \(\widehat{ABC}=45°\) → \(\widehat{ABD}=22{,}5°\).
• \(\widehat{AID}\): الزاوية الخارجية للمثلث = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين.
• المثلث \(IAD\): قارن زاويتَي \(\widehat{AID}\) و \(\widehat{ADI}\).
س1: \(\widehat{BAC} = 180° - 45° - 120° = 15°\).
\(\widehat{IAB}\): في المثلث \(ABH\) القائم في \(H\):
\(\widehat{BAH} = 90° - \widehat{ABH} = 90° - 45° = 45°\). إذن \(\widehat{IAB} = 45°\).
\(\widehat{ADI}\): في المثلث \(ABD\) القائم في \(A\) (لأن \((Ax) \perp (AB)\)):
\(\widehat{ABD} = 22{,}5°\) → \(\widehat{ADI} = \widehat{ADB} = 90° - 22{,}5° = 67{,}5°\).
\(\widehat{AID}\): زاوية خارجية للمثلث \(ABI\):
\(\widehat{AID} = \widehat{IAB} + \widehat{IBA} = 45° + 22{,}5° = 67{,}5°\).
المثلث IAD: \(\widehat{AID} = \widehat{ADI} = 67{,}5°\) → متقايس الضلعين في \(A\).
1) حساب \(\widehat{BAC}\):
\[\widehat{BAC} = 180° - \widehat{ABC} - \widehat{BCA} = 180° - 45° - 120° = \mathbf{15°}\] ✓3-أ) حساب الزوايا:
\(\widehat{IAB}\): \([AH]\) ارتفاع → \(\widehat{AHB}=90°\). في المثلث \(ABH\) القائم في \(H\): \(\widehat{BAH} = 90° - \widehat{ABH} = 90° - 45° = 45°\). إذن \(\mathbf{\widehat{IAB} = 45°}\). ✓ \(\widehat{ADI}\): \([BD)\) منصف \(\widehat{ABC}=45°\) → \(\widehat{ABD} = 22{,}5°\). \((Ax)\perp(AB)\) → في المثلث \(ABD\) القائم في \(A\): \(\widehat{ADI} = 90° - \widehat{ABD} = 90° - 22{,}5° = \mathbf{67{,}5°}\). ✓ \(\widehat{AID}\): زاوية خارجية للمثلث \(ABI\) عند \(I\): \[\widehat{AID} = \widehat{IAB} + \widehat{IBA} = 45° + 22{,}5° = \mathbf{67{,}5°}\] ✓3-ب) طبيعة المثلث \(IAD\):
\(\widehat{AID} = \widehat{ADI} = 67{,}5°\) → الزاويتان عند \(I\) و\(D\) متساويتان. إذن الضلعان المقابلان لهما متساويان: \(AI = AD\) → المثلث \(IAD\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\). ✓• \(ABC\) متقايس الأضلاع → جميع زواياه = 60°.
• \(D\) تقاطع العمودي على \((AC)\) في \(A\) والعمودي على \((AB)\) في \(B\) → المثلث \(ABD\) قائم في كلٍّ من \(A\) و\(B\)... انتبه: رأس واحد فقط يمكن أن يكون قائماً في مثلث → ابحث عن الزاوية القائمة الصحيحة.
• س2: \(ED=BD\) → المثلث \(BDE\) متقايس الضلعين → احسب زاوياه → قارن \(\widehat{BED}\) مع \(\widehat{BAD}\).
• س3: إذا \(BE=BC\) وأثبتت أن \(E, B, C\) على استقامة واحدة → \(B\) منتصف \([EC]\).
س1 — \(\widehat{BAD}\):
العمودي على \((AC)\) في \(A\) → الزاوية بين هذا العمودي و\((AC)\) = 90°. بما أن \(\widehat{BAC}=60°\):
\(\widehat{BAD} = 90° - 60° = 30°\).
\(\widehat{BDE}\): في المثلث \(ABD\): \(\widehat{DAB}=90°\) (العمودي على \((AC)\) في \(A\)), \(\widehat{ABD}=90°\)... إعادة: \(DA \perp AC\) أي \(\widehat{DAC}=90°\), \(DB \perp AB\) أي \(\widehat{DBA}=90°\).
في المثلث \(ABD\): \(\widehat{ADB} = 180° - 90° - \widehat{DAB}\). \(\widehat{DAB} = 90° - \widehat{BAC} = 90° - 60° = 30°\).
إذن \(\widehat{ADB} = 180° - 90° - 30° = 60°\) (الزاوية في \(D\) من جهة \(A\)).
\(\widehat{BDE} = 180° - \widehat{ADB} = 120°\).
س2: في المثلث \(BDE\) (متقايس الضلعين \(ED=BD\)):
\(\widehat{BED}=\widehat{EBD}=\dfrac{180°-120°}{2}=30°\).
بما أن \(\widehat{BED}=\widehat{BAD}=30°\) → المثلثان \(ABE\) يشتركان في زاوية 30° عند \(E\) و\(A\) → \(AB=BE\).
س3: \(BE=AB=BC\). وبحساب الزوايا حول \(B\): \(\widehat{EBC}=180°\) → \(E, B, C\) على استقامة → \(B\) منتصف \([EC]\).
1) حساب \(\widehat{BAD}\) و \(\widehat{BDE}\):
\(ABC\) متقايس الأضلاع → \(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{BCA}=60°\). \(DA \perp AC\) → \(\widehat{DAC}=90°\). إذن \(\widehat{BAD} = \widehat{DAC} - \widehat{BAC} = 90° - 60° = \mathbf{30°}\). ✓ \(DB \perp AB\) → \(\widehat{DBA}=90°\). في المثلث \(ABD\) القائم في \(B\): \(\widehat{ADB} = 180° - 90° - 30° = 60°\). \(E\) على \([AD)\) خارج \([AD]\) → \(\widehat{BDE} = 180° - \widehat{ADB} = 180° - 60° = \mathbf{120°}\). ✓2) المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين:
في المثلث \(BDE\) متقايس الضلعين (\(ED=BD\)): \(\widehat{BED}=\widehat{EBD}=\dfrac{180°-120°}{2}=30°\). بما أن \(\widehat{BED}=\widehat{BAD}=30°\)، والمثلث \(ABE\) يحقق هاتين الزاويتين المتساويتين عند \(E\) وعند \(A\): الضلعان المقابلان متساويان: \(AB = BE\) → المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين في \(B\). ✓3) \(B\) منتصف \([EC]\):
من السؤال 2: \(BE = BA\). ومن تعريف المثلث المتقايس الأضلاع: \(BA = BC\). إذن \(BE = BC\). نثبت أن \(E, B, C\) على استقامة واحدة: الزوايا حول \(B\) هي \(\widehat{EBA}+\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=...\) أو باستعمال أن مجموع الزوايا في نصف الدوران = 180°. بالحساب: \(\widehat{EBC} = \widehat{EBD}+\widehat{DBA}+\widehat{ABC} = 30°+90°+60° = 180°\). إذن \(E, B, C\) على استقامة واحدة. مع \(BE=BC\) → \(B\) هو منتصف \([EC]\). ✓