\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\) و \([AH]\) ارتفاعه المنحدر من \(A\).
بيّن أن \(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\) و \(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\).
نشتغل داخل مثلثات قائمة: \(ABC\) قائم في \(A\)، و\(ABH\) و\(ACH\) قائمان في \(H\).
إذا كان قياسان مجموعهما \(90^\circ\) مع نفس الزاوية، فهما متساويان لأنهما متممان لنفس الزاوية.
بما أن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، فإن:
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ\).
وبما أن \([AH]\) ارتفاع، فإن \((AH)\perp(BC)\)، لذلك المثلث \(ABH\) قائم في \(H\)، ومنه:
\(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^\circ\).
كما أن \(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=\widehat{BAC}=90^\circ\).
إذن \(\widehat{ABH}\) و\(\widehat{CAH}\) متممان لنفس الزاوية \(\widehat{BAH}\)، وبالتالي:
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\).
وبنفس الطريقة، بما أن \(\widehat{CAH}+\widehat{ACH}=90^\circ\) و\(\widehat{CAH}+\widehat{BAH}=90^\circ\)، فإن:
\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\).
\(\mathcal{C}\) دائرة مركزها \(O\) و \([BC]\) قطر لها. لتكن \(A\) نقطة من \(\mathcal{C}\) مخالفة لـ \(B\) و\(C\).
نثبت أولا أن \(OA=OB=OC\)، ثم نستنتج تساوي زوايا في المثلثين \(OAB\) و\(OAC\).
بعد ذلك نكتب \(\widehat{BAC}\) كمجموع زاويتين عند \(A\)، ونقارنها بزوايتي \(B\) و\(C\).
لدينا \(OA=OB=OC\) لأنها أنصاف أقطار الدائرة \(\mathcal{C}\).
إذن المثلث \(OAB\) متقايس الضلعين في \(O\)، والمثلث \(OAC\) متقايس الضلعين في \(O\).
في المثلث \(OAB\): \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\widehat{ABC}\).
وفي المثلث \(OAC\): \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\widehat{ACB}\).
وبما أن \(\widehat{BAC}=\widehat{OAB}+\widehat{OAC}\)، نحصل على:
\(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\).
ومجموع زوايا المثلث \(ABC\) هو \(180^\circ\)، أي:
\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^\circ\).
وبالتعويض بالعلاقة السابقة:
\(2\widehat{BAC}=180^\circ\)، ومنه \(\widehat{BAC}=90^\circ\).
إذن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
نحسب أولا \(\widehat{BAC}\). ثم نستعمل المثلث القائم \(ABH\) لنجد \(\widehat{IAB}\).
بعد ذلك نستعمل المنصف عند \(B\) والعمودي عند \(A\) لحساب زاويتي \(AID\) و\(ADI\).
نحسب زاوية \(A\):
\(\widehat{BAC}=180^\circ-(120^\circ+45^\circ)=15^\circ\).
بما أن \([AH]\) ارتفاع، فإن \(AH\perp BC\). في المثلث \(ABH\) القائم في \(H\):
\(\widehat{BAH}=90^\circ-45^\circ=45^\circ\).
وبما أن \(I\) على \([AH]\)، فإن:
\(\widehat{IAB}=45^\circ\).
المنصف عند \(B\) يقسم \(\widehat{ABC}=45^\circ\) إلى نصفين، لذلك:
\(\widehat{ABI}=22.5^\circ\).
إذن:
\(\widehat{AID}=22.5^\circ+45^\circ=67.5^\circ\).
وبما أن \((Ax)\perp(AB)\)، فإن المثلث \(ABD\) قائم في \(A\)، ومنه:
\(\widehat{ADI}=90^\circ-22.5^\circ=67.5^\circ\).
لدينا \(\widehat{AID}=\widehat{ADI}=67.5^\circ\)، إذن المثلث \(IAD\) متقايس الضلعين في \(A\).
\(\mathcal{C}\) دائرة مركزها \(O\) و \([BC]\) قطر لها. خذ نقطة \(A\) من \(\mathcal{C}\) بحيث \(AC=AB\).
نثبت أن \(A\) و\(O\) ينتميان إلى الموسط العمودي للقطعة \([BC]\)، فينتج أن \((OA)\perp(BC)\).
ثم نستعمل المماس والقطر لإيجاد العلاقات الزاوية، وأخيرا نطبق خاصية نصف الدائرة.
بما أن \(AB=AC\)، فإن النقطة \(A\) متقايسة البعد عن \(B\) و\(C\)، لذلك تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة \([BC]\).
وبما أن \([BC]\) قطر للدائرة ومركزها \(O\)، فإن \(O\) هو منتصف \([BC]\)، وبالتالي ينتمي أيضا إلى الموسط العمودي لـ \([BC]\).
إذن المستقيم \((OA)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\)، ومنه:
\((OA)\perp(BC)\).
المماس \(\Delta\) في \(B\) عمودي على نصف القطر \((OB)\)، أي \(\Delta\perp(OB)\). وبما أن \(O,B,C\) على استقامة واحدة، فإن \(\Delta\perp(BC)\).
إذن العلاقات الزاوية المطلوبة تنتج من الزوايا المتتامة والمتبادلة باستعمال المستقيمات العمودية، فنحصل على:
\(\widehat{BPC}=\widehat{OAC}\) و \(\widehat{OAB}=\widehat{ABP}\).
وبما أن \(A\) نقطة من الدائرة ذات القطر \([BC]\)، فإن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
ومع المعطى \(AB=AC\)، فإن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) ومتقايس الضلعين.
\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين رأسه \(A\). لتكن \([Bx)\) و\([Cy)\) نصفي مستقيمين.
نستعمل تناظر المثلث المتقايس الضلعين حول المستقيم الحامل للموسط والارتفاع الصادر من \(A\).
هذا التناظر يحول جهة \(B\) إلى جهة \(C\)، ومنه نحصل على تساوي الزوايا وعلى استقامية \(A,H,O\).
بما أن \(ABC\) مثلث متقايس الضلعين رأسه \(A\)، فإن:
\(AB=AC\) و \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\).
كما أن المستقيم \((AH)\)، حيث \(H\) منتصف \([BC]\)، هو محور تماثل المثلث.
هذا التناظر يحول الرأس \(B\) إلى الرأس \(C\)، ويحول نصف المستقيم المرتبط بـ \(B\) إلى نصف المستقيم المرتبط بـ \(C\).
إذن نحصل على:
\(\widehat{ABy}=\widehat{ACx}\).
وبما أن النقطتين أو المستقيمين المتناظرين يعطيان زاويتين متساويتين عند \(B\) و\(C\)، فإن:
\(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\).
إذن المثلث \(OBC\) متقايس الضلعين.
وبما أن \(O\) نقطة تقاطع عناصر متناظرة، فهي تنتمي إلى محور التناظر \((AH)\).
إذن النقاط \(A\) و\(H\) و\(O\) على استقامة واحدة.