دليل: التناظر المحوري ومركز الثقل

قواعد أساسية:

التناظر بالنسبة لمستقيم:

إذا كانت A منتصف [CD] و $(AB) \perp (CD)$ فإن C و D متناظرتان بالنسبة لـ (AB)، ويحفظ التناظر الأطوال.

مركز الثقل:

تقاطع موسطين (أو أكثر) في المثلث.

الموسط من رأس: يصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل. في المثلث BCD: الموسط من B يصل إلى منتصف [CD]، ومن D إلى منتصف [BC]، ومن C إلى منتصف [BD].

أخطاء شائعة:

تحديد المواسط

لتبيّن أن نقطة مركز ثقل، أظهر أنها تقاطع موسطين (رأس + منتصف الضلع المقابل)، لا أي مستقيمين.

نصيحة:

التناظر المحوري يحوّل منتصف قطعة إلى منتصف صورتها — استعمله لإثبات أن نقطة منتصف!

المثلثات — التمرين رقم 5 (ضفاف البحيرة)

دفواراتي
المثلث القائم والتناظر المحوري ومركز الثقل — 7 أساسي
تمرين 5
  1. ارسم مثلثًا ABC قائم الزاوية في A بحيث $AB = 3$ و $BC = 5$، وعيّن M منتصف [BC].
  2. ابنِ النقطة D بحيث A منتصف [CD]، وابنِ N مناظرة M بالنسبة للمستقيم (AB). بيّن أن C و D متناظرتان بالنسبة لـ (AB).
  3. (DM) يقطع (AB) في G. ماذا تمثل G بالنسبة للمثلث BCD ؟ علل جوابك.
    1. احسب BN واستنتج أن N منتصف [BD].
    2. بيّن أن (NC) يمر من G.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: اقرأ AC من المعطيات. و M منتصف الوتر $\Rightarrow AM = \dfrac{BC}{2}$.
  • س2: A منتصف [CD] و $\widehat{BAC} = 90^\circ \Rightarrow (AB) \perp (CD)$، فهي محور تناظر يبادل C و D.
  • س3: [BA] موسط في BCD من B (A منتصف [CD])، و [DM] موسط من D (M منتصف [BC]). تقاطعهما...
  • س4: التناظر بالنسبة لـ (AB) يبادل C و D و يبادل M و N، ويحفظ منتصف القطعة.

📝 الطريقة

1) $AC$ معطى، و M منتصف الوتر $\Rightarrow AM = \dfrac{BC}{2}$.

2) A منتصف [CD] و $(AB) \perp (AC) = (CD) \Rightarrow$ (AB) محور تناظر يبادل C و D.

3) الموسط من B هو [BA] (A منتصف [CD])، والموسط من D هو [DM] (M منتصف [BC]). $G = (DM) \cap (AB) \Rightarrow$ مركز ثقل BCD.

4-أ) التناظر بالنسبة لـ (AB) يبادل M و N و B ثابتة $\Rightarrow BN = BM$. ويبادل C و D $\Rightarrow$ صورة [BC] هي [BD] ومنتصفها M صورته N $\Rightarrow$ N منتصف [BD].

4-ب) N منتصف [BD] $\Rightarrow$ [CN] موسط من C في BCD، و G مركز ثقل $\Rightarrow G \in (CN)$.

✅ الحل الكامل

1) المعطيات والأطوال :

المثلث ABC قائم الزاوية في A، فالوتر هو [BC]، و AC = 4 (من المعطيات).

M منتصف الوتر [BC]، إذًا $BM = MC = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$، و $AM = \dfrac{BC}{2} = 2{,}5$.

2) C و D متناظرتان بالنسبة لـ (AB) :

A منتصف [CD]، والنقاط C و A و D على استقامة واحدة (هي المستقيم (AC)). وبما أن المثلث قائم في A فإن $(AB) \perp (AC)$، أي $(AB) \perp (CD)$. إذًا (AB) عمودي على [CD] ويمرّ من منتصفها A :

$\Rightarrow$ (AB) هو الموسط العمودي لـ [CD]، ومنه C و D متناظرتان بالنسبة لـ (AB).

3) النقطة G بالنسبة للمثلث BCD :

في المثلث BCD :

  • A منتصف [CD] $\Rightarrow$ [BA] هو الموسط الصادر من B، وهو محمول بالمستقيم (AB).
  • M منتصف [BC] $\Rightarrow$ [DM] هو الموسط الصادر من D.

$G = (DM) \cap (AB)$ هي نقطة تقاطع موسطين من مواسط المثلث BCD، إذًا G هو مركز ثقل المثلث BCD.

4-أ) حساب BN واستنتاج أن N منتصف [BD] :

N مناظرة M بالنسبة لـ (AB)، والنقطة B تنتمي إلى محور التناظر (AB) فهي ثابتة، ويحفظ التناظر الأطوال :

$$BN = BM = 2{,}5$$

التناظر بالنسبة لـ (AB) يبادل C و D (من السؤال 2)، فصورة القطعة [BC] هي القطعة [BD]، وصورة منتصفها M هي منتصف [BD]. لكن صورة M هي N، إذًا N منتصف [BD] (ونتحقق: $BD = BC = 5$ و $BN = 2{,}5 = \dfrac{BD}{2}$).

4-ب) (NC) يمر من G :

N منتصف [BD]، إذًا [CN] هو الموسط الصادر من C في المثلث BCD. وبما أن G مركز ثقل المثلث BCD فهو يقع على المواسط الثلاثة، ومنها [CN] :

$\Rightarrow$ المستقيم (NC) يمر من G.