دليل: محور التناظر والمركز القائم

قواعد أساسية:

محور تناظر المثلث متقايس الضلعين:

هو المستقيم المار بالقمة الرئيسية A ومنتصف القاعدة [BC]، وهو الارتفاع والموسط والموسط العمودي والمنصف من A معًا.

المركز القائم:

تقاطع الارتفاعات الثلاثة. يكفي ارتفاعان لتعيينه، ويمرّ به الارتفاع الثالث.

التناظر المحوري:

محور تناظر ABC يبادل B و C، ويبادل الضلعين [AB] و [AC]، ويحفظ قيس الزوايا والأطوال.

صورة ارتفاع: صورة الارتفاع الصادر من B بالنسبة لمحور التناظر هي الارتفاع الصادر من C.

أخطاء شائعة:

تحديد الرأس المُصدِر للارتفاع

الارتفاع [BH] صادر من B وعمودي على الضلع المقابل [AC] (وليس على [AB]). انتبه: الرأس والضلع المقابل.

نصيحة:

كل ارتفاع يمرّ بالمركز القائم؛ فإذا أثبتّ أن مستقيمًا ارتفاع، فقد أثبتّ مروره بالمركز القائم.

المثلثات — التمرين رقم 4 (ضفاف البحيرة)

دفواراتي
محور التناظر والمركز القائم والتناظر المحوري — 7 أساسي
تمرين 4

ارسم مثلثًا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث $AB = 4\ \text{cm}$ و $\widehat{BAC} = 40^\circ$.

  1. احسب $\widehat{ACB}$ و $\widehat{ABC}$.
    1. ارسم $\Delta$ محور تناظر المثلث ABC، و [BH] الارتفاع الصادر من B (حيث H نقطة على [AC])، ثم سمِّ I نقطة تقاطع $\Delta$ مع [BH].
    2. أثبت أن I هو المركز القائم للمثلث ABC.
    1. ابنِ K مناظرة H بالنسبة لـ $\Delta$.
    2. بيّن أن K تنتمي إلى [AB].
    3. أوجد مناظرة الزاوية $\widehat{AHB}$ بالنسبة لـ $\Delta$، واستنتج أن [CK] ارتفاع صادر من C.
    4. استنتج أن C و I و K على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: مجموع زوايا المثلث $180^\circ$، وزاويتا القاعدة في المثلث متقايس الضلعين متساويتان.
  • س2: محور التناظر $\Delta$ يحمل الارتفاع الصادر من A. تقاطعه مع ارتفاع آخر [BH] يعطي المركز القائم.
  • س3-ب: التناظر بالنسبة لـ $\Delta$ يبادل [AC] و [AB]، فصورة نقطة من [AC] تقع على [AB].
  • س3-ج: $[BH] \perp [AC]$ يعطي $\widehat{AHB} = 90^\circ$. التناظر يحفظ القيس، فصورة هذه الزاوية قائمة أيضًا.

📝 الطريقة

1) $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \dfrac{180^\circ - \widehat{BAC}}{2}$.

2-ب) $\Delta$ محور التناظر فهو الارتفاع الصادر من A؛ و[BH] الارتفاع من B؛ تقاطعهما $I$ هو المركز القائم.

3-أ) ابنِ K = مناظرة H بالنسبة لـ $\Delta$.

3-ب) $H \in [AC]$، والتناظر يبادل [AC] و [AB] $\Rightarrow K \in [AB]$.

3-ج) $\widehat{AHB} = 90^\circ$ (لأن $BH \perp AC$)؛ صورتها هي $\widehat{AKC} = 90^\circ$ $\Rightarrow CK \perp AB$ $\Rightarrow$ [CK] ارتفاع من C.

3-د) [CK] ارتفاع من C يمرّ بالمركز القائم I $\Rightarrow$ C و I و K على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

1) حساب الزوايا :

المثلث ABC متقايس الضلعين قمته A ($AB = AC$)، فزاويتا القاعدة متساويتان :

$$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \dfrac{140^\circ}{2} = 70^\circ$$

2-أ) محور التناظر $\Delta$ :

المثلث ABC متقايس الضلعين قمته A، فمحور تناظره $\Delta$ هو المستقيم المار بـ A ومنتصف [BC]، وهو في آن واحد: الارتفاع والموسط والموسط العمودي والمنصف من A.

2-ب) I هو المركز القائم :

  • $\Delta$ هو الارتفاع الصادر من A (لأنه عمودي على [BC]).
  • [BH] هو الارتفاع الصادر من B (لأن $BH \perp AC$).
  • $I = \Delta \cap [BH]$ تقاطع ارتفاعين.

إذًا I هو المركز القائم للمثلث ABC.

3-أ) بناء K :

نبني K مناظرة H بالنسبة للمستقيم $\Delta$ (أي $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ [HK]).

3-ب) K تنتمي إلى [AB] :

$\Delta$ هو محور تناظر المثلث ABC: يُثبّت النقطة A ويبادل B و C، وبالتالي يبادل الضلعين [AC] و [AB]. وبما أن $H \in [AC]$، فإن صورتها K تنتمي إلى [AB]، أي $K \in [AB]$.

3-ج) مناظرة الزاوية $\widehat{AHB}$ والارتفاع [CK] :

بما أن $[BH] \perp [AC]$ و $H \in [AC]$، فإن $\widehat{AHB} = 90^\circ$.
التناظر بالنسبة لـ $\Delta$ يبادل: $A \mapsto A$ و $H \mapsto K$ و $B \mapsto C$. إذًا صورة الزاوية $\widehat{AHB}$ هي الزاوية $\widehat{AKC}$، والتناظر يحفظ القيس :

$$\widehat{AKC} = \widehat{AHB} = 90^\circ$$

ومنه $(CK) \perp (KA)$. وبما أن $K \in [AB]$ فإن $(KA)$ محمول بـ $(AB)$، إذًا $(CK) \perp (AB)$. ومنه [CK] هو الارتفاع الصادر من C على [AB].

3-د) C و I و K على استقامة واحدة :

[CK] هو الارتفاع الصادر من C في المثلث ABC، وكل ارتفاع يمرّ بالمركز القائم I، إذًا $I \in (CK)$. ومنه النقاط C و I و K على استقامة واحدة.