ضفاف البحيرة — التمرين رقم 2 — المثلثات

الدائرة والمماس والتوازي — 7 أساسي

تمرين 2

ارسم دائرة $(\mathcal{C})$ مركزها O وشعاعها $OA = 3\ \text{cm}$.

1. ابنِ $\Delta$ المماس لـ $(\mathcal{C})$ في A، و $\Delta'$ الموسط العمودي للقطعة [OA].
2. بيّن أن $\Delta \parallel \Delta'$.
ما هي الوضعية النسبية لـ $\Delta'$ والدائرة $(\mathcal{C})$ ؟ علل جوابك.
نضع $\{B, D\} = (\mathcal{C}) \cap \Delta'$، و(OB) يقطع $\Delta$ في C.
1. بيّن أن المثلث OAB متقايس الأضلاع.
2. بيّن أن المثلث ABC متقايس الضلعين ثم استنتج أن B منتصف [OC].

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

س1-ب: $\Delta$ مماس $\Rightarrow \Delta \perp (OA)$. و $\Delta'$ موسط عمودي $\Rightarrow \Delta' \perp (OA)$. مستقيمان عموديان على نفس المستقيم...
س2: احسب المسافة من O إلى $\Delta'$ (وهي $\dfrac{OA}{2}$) وقارنها بالشعاع.
س3-أ: $OA = OB$ شعاعان، و B على الموسط العمودي $\Delta'$ لـ [OA] $\Rightarrow BA = BO$.
س3-ب: في المثلث OAC القائم في A، استنتج زوايا ABC لتبيّن أنه متقايس الضلعين ($BA = BC$).

📝 الطريقة

1-ب) $\Delta \perp (OA)$ (مماس) و $\Delta' \perp (OA)$ (موسط عمودي) $\Rightarrow \Delta \parallel \Delta'$.

2) المسافة من O إلى $\Delta'$ هي $\dfrac{OA}{2} = 1{,}5 < 3 = R \Rightarrow \Delta'$ قاطعة للدائرة.

3-أ) $OA = OB = 3$ (شعاعان)، و B على $\Delta' \Rightarrow BA = BO = 3 \Rightarrow$ OAB متقايس الأضلاع.

3-ب) $\Delta \perp OA$ في A، وفي المثلث OAC القائم في A نجد $\widehat{ACB} = 30^\circ = \widehat{BAC} \Rightarrow ABC$ متقايس الضلعين $\Rightarrow BC = BA = 3 = OB \Rightarrow$ B منتصف [OC].

✅ الحل الكامل

1-ب) إثبات $\Delta \parallel \Delta'$ :

$\Delta$ مماس للدائرة $(\mathcal{C})$ في A $\Rightarrow \Delta \perp [OA]$.
$\Delta'$ موسط عمودي للقطعة [OA] $\Rightarrow \Delta' \perp [OA]$.

مستقيمان عموديان على نفس المستقيم (OA) يكونان متوازيين، إذًا $\Delta \parallel \Delta'$.

2) الوضعية النسبية لـ $\Delta'$ و $(\mathcal{C})$ :

ليكن I منتصف [OA] (نقطة تقاطع $\Delta'$ مع [OA]). المسافة من المركز O إلى $\Delta'$ هي :

$$OI = \dfrac{OA}{2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\ \text{cm}$$

بما أن $1{,}5 < 3$ (الشعاع)، فإن $\Delta'$ قاطعة للدائرة $(\mathcal{C})$ (تقطعها في نقطتين B و D).

3-أ) المثلث OAB متقايس الأضلاع :

$OA = OB = 3\ \text{cm}$ (نصفا قطر الدائرة).
B تنتمي إلى $\Delta'$ الموسط العمودي لـ [OA] $\Rightarrow BA = BO$.

$$OA = OB = BA = 3\ \text{cm}$$

إذًا المثلث OAB متقايس الأضلاع (وزواياه $60^\circ$).

3-ب) المثلث ABC متقايس الضلعين و B منتصف [OC] :

المستقيم C هو تقاطع (OB) مع المماس $\Delta$. والمثلث OAC قائم الزاوية في A (لأن $\Delta \perp OA$)، و $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} = 60^\circ$، إذًا $\widehat{ACO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. ومن جهة أخرى :

$$\widehat{BAC} = \widehat{OAC} - \widehat{OAB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

إذًا في المثلث ABC : $\widehat{BAC} = \widehat{BCA} = 30^\circ$، ومنه المثلث ABC متقايس الضلعين قمته B، فيكون $BC = BA = 3\ \text{cm}$.

وبما أن $OB = 3\ \text{cm}$ أيضًا و B تقع على [OC]، فإن $OB = BC = 3\ \text{cm}$، أي B منتصف [OC] و $OC = 6\ \text{cm}$.

دليل: المماس والموسط العمودي والوضعية النسبية

قواعد أساسية:

أخطاء شائعة:

حساب المسافة إلى الموسط العمودي

نصيحة:

المثلثات — التمرين رقم 2 (ضفاف البحيرة)

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل